Question

在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，將△ABC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)α，其中0°＜α＜90°得△A₁BC₁，A₁B交AC與點(diǎn)E，A₁C₁分別交AC、BC于D、F兩點(diǎn)．
（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，線段EA₁與FC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)α=30°時，試判斷四邊形BC₁DA的形狀，并說明理由．

Answer 1

解：（1）EA₁=FC．理由如下：
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=30°，
∵△ABC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)α，其中0°＜α＜90°得△A₁BC₁，
∴∠ABE=∠FBC₁=α，∠C₁=∠C=30°，BC₁=BC，BA=BA₁，
∴BA=BC₁，
在△BAE和△BC₁F中
，
∴△BAE≌△BC₁F，
∴BE=BF，
∵BA₁=BC=BA，
∴EA₁=FC；
（2）四邊形BC₁DA為菱形．理由如下：
∵α=30°，
∴∠ABA₁=∠CBC₁=30°，
而∠A₁=∠C=30°，
∴∠ABA₁=∠A₁，∠CBC₁=∠C，
∴AB∥A₁C₁，BC₁∥AC，
∴四邊形BC₁DA為平行四邊形，
∵BA=BC₁，
∴四邊形BC₁DA為菱形．
分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠A=∠C=30°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得到∠ABE=∠FBC₁=α，∠C₁=∠C=30°，BC₁=BC，BA=BA₁，則BA=BC₁，根據(jù)三角形判定方法易得△BAE≌△BC₁F，得到BE=BF，又BA₁=BC=BA，即可得到EA₁=FC；
（2）當(dāng)α=30°時，∠ABA₁=∠CBC₁=30°，而∠A₁=∠C=30°，則∠ABA₁=∠A₁，∠CBC₁=∠C，根據(jù)平行線的判定方法得到AB∥A₁C₁，BC₁∥AC，得到四邊形BC₁DA為平行四邊形，由BA=BC₁，根據(jù)菱形的判定方法即可得到四邊形BC₁DA為菱形．
點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了平行線的判定與性質(zhì)以及菱形的判定方法．