Question

（2009•荊州）已知：點(diǎn)P（a+1，a-1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在反比例函數(shù)y=-（x＞0）的圖象上，y關(guān)于x的函數(shù)y=k²x²-（2k+1）x+1的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A﹑B，求P點(diǎn)坐標(biāo)和△PAB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點(diǎn)P（a+1，a-1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在反比例函數(shù)y=-（x＞0）的圖象上可知（a+1）（-a+1）=-8，求出a即得求P點(diǎn)坐標(biāo)
（2）在y=k²x²-（2k+1）x+1中k可能為0（一次函數(shù)y=-x+1），也可能不為0（二次函數(shù)y=k²x²-（2k+1）x+1），根據(jù)題意，結(jié)合一次函數(shù)二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)特點(diǎn)，易求點(diǎn)A、B坐標(biāo)，即能求△PAB的面積
解答：解：（1）∵P點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為（a+1，-a+1），它在y=-（x＞0）圖象上，且在第四象限
∴（a+1）（-a+1）=-8，即a²=9
∴a=3（a=-3舍去）
∴P（4，2）（2分）

（2）當(dāng)k=0時(shí)，y=-x+1，
設(shè)一次函數(shù)圖象與x軸交于A，與y軸交于B，則A（1，0），B（0，1）
此時(shí)，S_△PAB=（4分）
當(dāng)k≠0時(shí)，函數(shù)y=k²x²-（2k+1）x+1的圖象為拋物線，與y軸交于B（0，1）
∵它的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)
∴它的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)為A點(diǎn)
∴△=（2k+1）²-4k²=0
解得：k=（5分）
∴拋物線與x軸交于A（4，0）
∴此時(shí)，
綜合得：△PAB的面積為或4．（7分）
點(diǎn)評：此題難度較大，考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，還滲透分類討論思想，綜合性大．