Question

已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過A（2，4），其頂點的橫坐標是

1

2

，它的圖象與x軸交點為B（x₁，0）和（x₂，0），且x₁²+x₂²=13．求：
（1）此函數的解析式，并畫出圖象；
（2）在x軸上方的圖象上是否存在著D，使S_△ABC=2S_△DBC？若存在，求出D的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知函數的解析式，把點（2，4）代入，然后再根據頂點坐標公式及方程兩根之和和兩根之差，列出三個式子，從而求解；
（2）先設出D點的坐標，然后再根據已知條件S_△ABC=2S_△DBC，求出D點的坐標，從而求解．

解答：解：（1）∵二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過A（2，4），
∴4a+2b+c=4 ①
∵頂點的橫坐標是

1

2

，
-

b

2a

=

1

2

②
∵函數圖象與x軸交點為B（x₁，0）和（x₂，0），
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=

b2-2ac

a2

=13③
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，
由②得：a=-b代入①得：-2b+c=4 c=2b+4，
將a=-b c=2b+4代入③得：b²+2b（2b+4）=13b²，
b=0或b=1
∵b=0不合題意，
∴b=1，a=-1，c=6
∴y=-x²+x+6；

（2）設D（x，y） 則S_△ABC=

1

2

×BC×4=10，
S_△DBC=

1

2

×5|y|=

5

2

y=5，
∴y=2，
將y=2代入y=-x²+x+6，
x=

1± 17

2

∴D(

1+ 17

2

，2)或(

1- 17

2

，2)．

點評：（1）第一問主要考查了用待定系數法求函數的解析式，還考查一元二次方程與函數的關系．
（2）此問把三角形的面積公式同函數結合起來出題，求特殊點的坐標，比較新穎．