Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AB=AC，AE⊥AC且AE=AD，連BE交AC于F．
（1）如圖1，若CD=AD，試猜想BF與EF的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，若CD≠AD，問題（1）BF與EF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明．若不成立，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，在第（2）問的條件下，取BC中點(diǎn)M，問線段MF與線段BD之間是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）BF=EF．

（2）BF=EF仍成立，
過B點(diǎn)作BG⊥AC于G，
∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC
∵∠BGA=∠ADC=90°，AB=AC
∴△ABG≌△CAD，
由此得BG=AD，又AD=AE，
∴BG=AE，
又∵∠BGA=∠EAG=90°，∠BFG=∠AFE
可得△FBG≌△FEA，
∴BF=EF．

（3）MF=BD，連接CE，可知MF是△BCE的中位線，
∴MF=CE
∵AD=AE，AC=AB，∠CAE=∠BAD=90°，
∴△CAE≌△BAD
∴CE=BD
∴MF=CE=BD．
分析：（1）可通過構(gòu)建全等三角形來求得，作BG⊥AC于G，目的：證明△FBG≌△FEA來得出BF=EF，這兩個(gè)三角形中已知的條件有：一組對(duì)頂角，一組直角，因此證得BG=AE也就是BG=AD是本題的關(guān)鍵．那么就要先證明三角形ACD和ABG全等，已知的條件有∠D=∠AGB=90°，∠DCA=∠BAG（CD∥AB，AB=AC），因此構(gòu)成了兩三角形全等的條件，兩三角形就全等了．
（2）由于（1）中沒有使用CD=AD的條件，所以此問的方法和（1）是完全一樣的．
（3）連接CE后，我們發(fā)現(xiàn)，MF是三角形BCE的中位線，因此MF是CE的一半，如果能將BD和CE聯(lián)系起來就能得出MF和BD的關(guān)系，可通過三角形全等來實(shí)現(xiàn)，三角形CAE和BAD中，已知的條件有：AD=AE，AC=AB，∠CAE=∠BAD=90°，因此兩三角形就全等了，可以得出CE=BD，因此就能得出MF和BD的關(guān)系．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了中位線定理，全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，利用全等三角形得出角或線段相等是解題的關(guān)鍵．