Question

（2010•徐州）如圖，已知二次函數(shù)y=的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接AC．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為______，點(diǎn)C的坐標(biāo)為______；
（2）線段AC上是否存在點(diǎn)E，使得△EDC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PC，若所得△PAC的面積為S，則S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)？

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線的解析式中，令x=0即得二次函數(shù)與y軸交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，令y=0即得二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（2）根據(jù)A、C的坐標(biāo)，易求得直線AC的解析式，由于等腰△EDC的腰和底不確定，因此要分成三種情況討論：
①CD=DE，由于OD=3，OA=4，那么DA=DC=5，此時(shí)A點(diǎn)符合E點(diǎn)的要求，即此時(shí)A、E重合；
②CE=DE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：E點(diǎn)橫坐標(biāo)為點(diǎn)D的橫坐標(biāo)加上CD的一半，然后將其代入直線AC的解析式中，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；
③CD=CE，此時(shí)CE=5，過E作EG⊥x軸于G，已求得CE、CA的長(zhǎng)，即可通過相似三角形（△CEG∽△CAO）所得比例線段求得EG、CG的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（3）過P作x軸的垂線，交AC于Q，交x軸于H；設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)（設(shè)為m），根據(jù)拋物線和直線AC的解析式，即可表示出P、Q的縱坐標(biāo)，從而可得到PQ的長(zhǎng)，然后分兩種情況進(jìn)行討論：
①P點(diǎn)在第一象限時(shí)，即0＜m＜8時(shí)，可根據(jù)PQ的長(zhǎng)以及A、C的坐標(biāo)，分別表示出△APQ、△CPQ的面積，它們的面積和即為△APC的面積，由此可得到S的表達(dá)式，通過配方即可得到S的取值范圍；
②當(dāng)P在第二象限時(shí)，即-2＜m＜0時(shí)，同①可求得△APQ、△CPQ的面積，此時(shí)它們的面積差為△APC的面積，同理可求得S的取值范圍；根據(jù)兩個(gè)S的取值范圍，即可判斷出所求的結(jié)論．
解答：解：（1）在二次函數(shù)中令x=0得y=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），
令y=0得：，
即：x²-6x-16=0，
∴x=-2和x=8，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0）．

（2）易得D（3，0），CD=5，
設(shè)直線AC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則：
，
解得；
∴y=-x+4；
①當(dāng)DE=DC時(shí)，
∵OA=4，OD=3，
∴DA=5，
∴E₁（0，4）；
②過E點(diǎn)作EG⊥x軸于G點(diǎn)，
當(dāng)DE=EC時(shí)，由DG==，
把x=OD+DG=3+=代入到y(tǒng)=-x+4，求出y=，
可得E₂（，）；
③當(dāng)DC=EC時(shí)，如圖，過點(diǎn)E作EG⊥CD，
則△CEG∽△CAO，
∴，又OA=4，OC=8，則AC=4，DC=EC=5，
∴EG=，CG=2，
∴E₃（8-2，）；
綜上所述，符合條件的E點(diǎn)共有三個(gè)：E₁（0，4）、E₂（，）、E₃（8-2，）．

（3）如圖，過P作PH⊥OC，垂足為H，交直線AC與點(diǎn)Q；
設(shè)P（m，-m²+m+4），則Q（m，-m+4）．
①當(dāng)0＜m＜8時(shí)，
PQ=（-m²+m+4）-（-m+4）=-m²+2m，
S=S_△APQ+S_△CPQ=×8×（-m²+2m）=-（m-4）²+16，
∴0＜S≤16；
②當(dāng)-2≤m＜0時(shí)，
PQ=（-m+4）-（-m²+m+4）=m²-2m，
S=S_△CPQ-S_△APQ=×8×（m²-2m）=（m-4）²-16，
∴0＜S＜20；
∴當(dāng)0＜S＜16時(shí)，0＜m＜8中有m兩個(gè)值，-2＜m＜0中m有一個(gè)值，此時(shí)有三個(gè)；
當(dāng)16＜S＜20時(shí)，-2＜m＜0中m只有一個(gè)值；
當(dāng)S=16時(shí)，m=4或m=4-4這兩個(gè)．
故當(dāng)S=16時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、等腰三角形的構(gòu)成條件、圖形面積的求法等知識(shí)，（3）題的解題過程并不復(fù)雜，關(guān)鍵在于理解題意．