Question

【題目】如圖1，為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的頂點(diǎn)，，將矩形繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度得到矩形，此時(shí)邊、直線分別與直線交于點(diǎn)、．

（1）連接，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)．

（2）連接，當(dāng)時(shí)，若為線段中點(diǎn)，求的面積．

（3）如圖2，連接，以為斜邊向上作等腰直角，請直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中的最小值．

Answer 1

【答案】（1）P（﹣4，6）；（2）；（3）

【解析】

（1）利用∠PAO＝∠POA得出PA＝PO，進(jìn)而得出AE＝EO＝4，即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）首先得出Rt△OCQ≌Rt△OC'Q（HL），進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)求出∠POQ＝∠PQO，即可得出BP＝PO，再利用勾股定理得出PQ的長，進(jìn)而求出△OPQ的面積；

（3）先構(gòu)造一組手拉手的相似三角形，將CM的長轉(zhuǎn)化為，然后通過垂線段最短及全等三角形求解即可．

解：如圖1，過點(diǎn)P作PE⊥AO于點(diǎn)E，

∵，

∴AO＝8，

∵∠PAO＝∠POA

∴PA＝PO，

∵PE⊥AO，

∴AE＝EO＝4，

∴P（﹣4，6）；

（2）如圖2，在Rt△OCQ和Rt△OC'Q中，

，

∴Rt△OCQ≌Rt△OC'Q（HL），

∴∠OQC＝∠OQC'，

又∵OP∥C'Q，

∵∠POQ＝∠OQC'，

∴∠POQ＝∠PQO，

∴PO＝PQ，

∵點(diǎn)P為BQ的中點(diǎn)，

∴BP＝QP，

∴設(shè)BP＝OP＝x，

在Rt△OPC中，OP 2＝PC 2＋ OC 2，

∴x2＝（8﹣x）2＋62，

解得：x＝．

故S△OPQ＝×CO×PQ＝×6×＝．

（3）如圖3，連接CM、AC，在AC的右側(cè)以AC為腰，∠ACG為直角作等腰直角三角形ACG，連接QG，

∵△AMQ與△ACG為等腰直角三角形，

∴ ，∠MAQ＝∠CAG＝45°，

∴，∠MAC＝∠QAG

∴△MAC∽△QAC，

∴，

∴，

∵點(diǎn)Q在直線BC上，

∴當(dāng)GQ⊥BC時(shí)，GQ取得最小值，

如圖3，作GH⊥BC，則GQ的最小值為線段GH的長，

∵∠ACG＝∠B＝90°，

∴∠ACB＋∠GCH＝∠ACB＋∠BAC＝90°，

∴∠GCH＝∠BAC，

又∵∠B＝∠GHC＝90°，AC＝CG，

∴△ABC≌△CHG（AAS）

∴GH＝BC＝8

∴GQ的最小值為8，

∴CM的最小值為．