Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD⊥CD，（點D在⊙O外）AC平分∠BAD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若DC、AB的延長線相交于點E，且DE=12，AD=9，求BE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根據(jù)切線的判定判斷即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出AE，根據(jù)△ECO∽△EDA，得出比例式，求出圓的半徑，即可求出答案．
解答：（1）證明：連接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC為⊙O半徑，
∴CD是⊙O的切線．

（2）解：在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE==15，
∵OC∥AD，
∴△ECO∽△EDA，
∴=，
∴=，
解得：OC=，
∴BE=AE-2OC=15-2×=，
答：BE的長是．
點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，切線的性質(zhì)和判定等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力，兩小題題型都很好，都具有一定的代表性．