【題目】已知,點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點(diǎn)(不與AB重合),分別過AB向直線CP作垂線,垂足分別為E,F,Q為斜邊AB的中點(diǎn).

1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時,AEBF的位置關(guān)系是 ,QEQF的數(shù)量關(guān)系式 ;

2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時,試判斷QEQF的數(shù)量關(guān)系,并給予證明;

3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段BA(或AB)的延長線上時,此時(2)中的結(jié)論是否成立?請畫出圖形并給予證明.

【答案】(1AE∥BFQE=QF;(2QE=QF,證明見試題解析;(3)成立,證明見試題解析.

【解析】試題分析:(1)、證△BFQ≌△AEQ即可;(2)、證△FBQ≌△DAQ,推出QF=QD,根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可;(3)、證△AEQ≌△BDQ,推出DQ=QE,根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可.

試題解析:(1)、AE∥BFQE=QF, 理由是:如圖1,∵QAB中點(diǎn), ∴AQ=BQ

∵BF⊥CP,AE⊥CP, ∴BF∥AE∠BFQ=∠AEQ=90°, 在△BFQ△AEQ

∴△BFQ≌△AEQAAS), ∴QE=QF,

(2)QE=QF, 如圖2,延長FQAED, ∵QAB中點(diǎn), ∴AQ=BQ,

∵BF⊥CP,AE⊥CP, ∴BF∥AE, ∴∠QAD=∠FBQ, 在△FBQ△DAQ

∴△FBQ≌△DAQASA), ∴QF=QD∵AE⊥CP,

∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線, ∴QE=QF=QD, 即QE=QF

(3)、(2)中的結(jié)論仍然成立, 如圖3, 延長EQ、FB交于D∵QAB中點(diǎn),

∴AQ=BQ∵BF⊥CP,AE⊥CP, ∴BF∥AE, ∴∠1=∠D, 在△AQE△BQD中,

, ∴△AQE≌△BQDAAS), ∴QE=QD, ∵BF⊥CP,

∴FQ是斜邊DE上的中線, ∴QE=QF

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