【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使點(diǎn)C落在斜邊AB上某一點(diǎn)D處,折痕為MN(點(diǎn)M、N分別在邊ACBC上).給出以下判斷:

①當(dāng)MNAB時(shí),CM=AM;

②當(dāng)四邊形CMDN為矩形時(shí),AC=BC;

③當(dāng)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)時(shí),∠CMN=∠B;

④當(dāng)∠CMN=∠B時(shí),點(diǎn)D為AB的中點(diǎn);

其中正確的是__.(把所有正確結(jié)論序號(hào)都填在橫線上).

【答案】①③④

【解析】①∵MNAB,

∴∠CMN=CAB,NMD=MDA,

由翻折變換的性質(zhì)可知,∠CMN=DMNCM=DM,

∴∠CAB=MDA,

AM=DM,

CM=AM,故①正確;

②根據(jù)折疊的性質(zhì)得到CE=DE,矩形CEDF是正方形,

又任意一個(gè)直角三角形都有一個(gè)內(nèi)接正方形滿足題意,

故②錯(cuò)誤;

③當(dāng)點(diǎn)DAB的中點(diǎn)時(shí),∠CMNB

理由如下:如圖2,連接CD,EF交于點(diǎn)Q,

CDRtABC的中線,

CD=DB=AB,

∴∠DCB=B,

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知,CQF=DQF=90°

∴∠DCB+CFE=90°,

∵∠B+A=90°,

∴∠CFE=A,

又∵∠C=C,

CEFCBA

∴∠CMNB,

故③正確;

④∵當(dāng)∠CMNB時(shí)

CEFABC相似,

∴∠EFD=CAB,EDF=ECF=90°

C,ED,F四點(diǎn)共圓,

∴∠ACD=EFD,

∴∠ACD=A,

AD=CD,同理CD=BD

∴點(diǎn)DAB的中點(diǎn),故④正確,

故答案為:①③④.

點(diǎn)睛: 本題是幾何綜合題,考查了幾何圖形折疊問(wèn)題,勾股定理和全等三角形的判定與性質(zhì),難度適中,運(yùn)用分類討論及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

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(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E不是線段AC的中點(diǎn)時(shí),求證:BE=EF;

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E是線段AC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí),(2)中的結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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∴∠ABC=∠BCD__________

∵BE平分∠ABC,CF平分∠BCD __________

∴∠1=______ ,__________

∠2=________________

∴∠1=∠2.__________

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