Question

探究與發(fā)現(xiàn)：
如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品--圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學知識呢？下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：
（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關系，并說明理由；
（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：
①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX=______°；
②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；
③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G₁、G₂…、G₉，若∠BDC=140°，∠BG₁C=77°，求∠A的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）連接AD并延長至點F，
由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD；
且∠BDC=∠BDF+∠CDF及∠BAC=∠BAD+∠CAD；
相加可得∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）①由（1）的結論易得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
又因為∠A=50°，∠BXC=90°，
所以∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°；

②由（1）的結論易得∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB=80°；
而∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，
代入∠DAE=50°，∠DBE=130°，易得∠DCE=90°；

③∠BG₁C═（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG₁C=77°，
∴設∠A為x°，
∵∠ABD+∠ACD=140°-x°
∴（140-x）+x=77，
14-x+x=77，
x=70
∴∠A為70°．
分析：（1）根據(jù)題意觀察圖形連接AD并延長至點F，由外角定理可知，一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，則容易得到∠BDC=∠BDF+∠CDF；
（2）①由（1）的結論可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值．
②結合圖形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的結論可知∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．
③由（2）的方法，進而可得答案．
點評：本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關鍵是溝通外角和內(nèi)角的關系．