Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=2 ，AD=4，點(diǎn)E是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作DF⊥AE于點(diǎn)F，當(dāng)BE的長(zhǎng)為時(shí)，△CDF是等腰三角形．

Answer 1

【答案】2或2 或4﹣2
【解析】解：①CF=CD時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥DF，垂足為點(diǎn)M，

則CM∥AE，DM=MF，

延長(zhǎng)CM交AD于點(diǎn)G，

∴AG=GD=2，

∴CE=2，

∴當(dāng)BE=2時(shí)，△CDF是等腰三角形；②DF=DC時(shí)，則DF=DC=AB=2 ，

∵DF⊥AE，AD=2，

∴∠DAE=45°，

則BE=2 ，

∴當(dāng)BE=2 時(shí)，△CDF是等腰三角形；③FD=FC時(shí)，則點(diǎn)F在CD的垂直平分線上，故F為AE中點(diǎn)．

∵AB=2 ，BE=x，

∴AE= ，

AF= ，

∵△ADF∽△EAB，

∴ ，即 ，

解得：x=4﹣2 或x=4+2 （舍去）；

∴當(dāng)BE=4﹣2 時(shí)，△CDF是等腰三角形．

綜上，當(dāng)BE=2或2 或4﹣2 時(shí)，△CDF是等腰三角形．

所以答案是：2或2 或4﹣2 ．

【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用等腰三角形的判定和矩形的性質(zhì)，掌握如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等角對(duì)等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等；矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等即可以解答此題．