Question

【題目】等腰Rt△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．

（1）若△ABC以每秒2個(gè)單位的速度向右移動，⊙O不動，則經(jīng)過多少時(shí)間△ABC的邊與圓第一次相切？

（2）若兩個(gè)圖形同時(shí)向右移動，△ABC的速度為每秒2個(gè)單位，⊙O的速度為每秒1個(gè)單位，則經(jīng)過多少時(shí)間△ABC的邊與圓第一次相切？

（3）若兩個(gè)圖形同時(shí)向右移動，△ABC的速度為每秒2個(gè)單位，⊙O的速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)△ABC的邊長AB、BC都以每秒0.5個(gè)單位沿BA、BC方向增大．△ABC的邊與圓第一次相切時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動了多少距離？

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3）

【解析】分析：（1）分析易得，第一次相切時(shí)，與斜邊相切，假設(shè)此時(shí)，△ABC移至△A′B′C′處，A′C′與⊙O切于點(diǎn)E，連OE并延長，交B′C′于F．由切線長定理易得CC′的長，進(jìn)而由三角形運(yùn)動的速度可得答案；

（2）設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒，根據(jù)題意得：CC′=2t，DD′=t，則C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t，由第（1）的結(jié)論列式得出結(jié)果；

（3）求出相切的時(shí)間，進(jìn)而得出B點(diǎn)移動的距離．

詳解：（1）假設(shè)第一次相切時(shí)，△ABC移至△A′B′C′處，

如圖1，A′C′與⊙O切于點(diǎn)E，連接OE并延長，交B′C′于F，

設(shè)⊙O與直線l切于點(diǎn)D，連接OD，則OE⊥A′C′，OD⊥直線l，

由切線長定理可知C′E=C′D，

設(shè)C′D=x，則C′E=x，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A=∠ACB=45°，

∴∠A′C′B′=∠ACB=45°，

∴△EFC′是等腰直角三角形，

∴C′F=x，∠OFD=45°，

∴△OFD也是等腰直角三角形，

∴OD=DF，

∴x+x=1，則x=-1，

∴CC′=BD-BC-C′D=5-1-（-1）=5-，

∴點(diǎn)C運(yùn)動的時(shí)間為；

則經(jīng)過秒，△ABC的邊與圓第一次相切；

（2）如圖2，設(shè)經(jīng)過t秒△ABC的邊與圓第一次相切，△ABC移至△A′B′C′處，⊙O與BC所在直線的切點(diǎn)D移至D′處，

A′C′與⊙O切于點(diǎn)E，連OE并延長，交B′C′于F，

∵CC′=2t，DD′=t，

∴C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t，

由切線長定理得C′E=C′D′=4-t，

由（1）得：4-t=-1，

解得：t=5-，

答：經(jīng)過5-秒△ABC的邊與圓第一次相切；

（3）由（2）得CC′=（2+0.5）t=2.5t，DD′=t，

則C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2.5t=4-1.5t，

由切線長定理得C′E=C′D′=4-1.5t，

由（1）得：4-1.5t=-1，

解得：t=，

∴點(diǎn)B運(yùn)動的距離為2×=．