Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，（M2，N2），∠BAC=30°，E為AB邊的中點，以BE為邊作等邊△BDE，連接AD，CD．

（1）求證：△ADE≌△CDB；

（2）若BC=，在AC邊上找一點H，使得BH+EH最小，并求出這個最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BH+EH的最小值為3．

【解析】

（1）只要證明△DEB是等邊三角形，再根據SAS即可證明；

（2）如圖，作點E關于直線AC點E'，連接BE'交AC于點H．則點H即為符合條件的點．

（1）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，E為AB邊的中點，

∴BC=EA，∠ABC=60°，

∵△DEB為等邊三角形，

∴DB=DE，∠DEB=∠DBE=60°，

∴∠DEA=120°，∠DBC=120°，

∴∠DEA=∠DBC，

∴△ADE≌△CDB；

（2）如圖，作點E關于直線AC點E'，連接BE'交AC于點H，則點H即為符合條件的點，

由作圖可知：EH=HE'，AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=30°，

∴∠EAE'=60°，

∴△EAE'為等邊三角形，

∴E E'=EA=AB，

∴∠AE'B=90°，

在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=，

∴AB=2，A E'=AE=，

∴B E'= =3，

∴BH+EH的最小值為3．