Question

如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在
AC的延長(zhǎng)線上，且∠CBF=∠CAB．

（Ⅰ）求證：直線BF是⊙O的切線；
（Ⅱ）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的長(zhǎng)．

Answer 1

（Ⅰ）證明：連接AE.
∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB=90°.        
∴∠EAB+∠ABE=90°.
∵ AB="AC" , ∴∠EAB=∠CAB .          
∵∠CBF=∠CAB , ∴∠EAB =∠CBF，     
∴ ∠CBF+∠ABE=90°，即∠ABF==90°.
∵AB是⊙O的直徑，∴ 直線BF是⊙O的切線.
（Ⅱ）解：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G .
∵sin∠CBF=，∠EAB =∠CBF，  ∴sin∠EAB=，
∵∠AEB=90°，AB=5，∴BE= AB·sin∠EAB=
∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC="2" BE=2.  
在Rt△ABE中，AE==2.
∴ sin∠ABE=，cos∠ABE=.
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB="2" ，∴ AG="3" .
∵CG∥BF，∴△AGC∽△ABF，          
∴ ,∴BF==.      

（I）連接AE，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角相等得到直角，從而證明∠ABF=90°．
（II）利用已知條件證得∴△AGC∽△BFA，利用比例式求得線段的長(zhǎng)即可．