Question

如圖，BD是⊙O的弦．過點(diǎn)D作⊙O的切線交BO延長線于點(diǎn)A．AC⊥AD交BD延長線于點(diǎn)C．
（1）求證：AB=AC；
（2）若AB=5，∠B=25°．求AD的長．（精確到0.1）

Answer 1

（1）證明：連接OD．
∵AD切⊙O于D，
∴OD⊥AD．
∵AC⊥AD，
∴∠ODA=∠DAC=90°．
∴OD∥AC．
∴∠1=∠C．
∵OB=OD，
∴∠B=∠1．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．

（2）解：由（1）得，∠C=∠B，AB=AC，
∴∠C=25°，AC=5．
在Rt△ACD中，tanC=，
∴AD=ACtanC=5tan25°≈2.3．
分析：遇到切點(diǎn)，連接切點(diǎn)和圓心構(gòu)造垂直是常用的手段．連接OD，利用OD⊥AD和AC⊥AD得到OD∥AC，進(jìn)而得到∠B=∠ODB=∠C，從而得到AB=AC．而第二問直接利用解直角三角形得到．
點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)及解直角三角形的應(yīng)用，應(yīng)重點(diǎn)掌握．