Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，過(guò)點(diǎn)B的弦BD⊥OC交⊙O于點(diǎn)D，垂足為E．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）當(dāng)BC=BD，且BD=12cm時(shí)，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果不取近似值）．

Answer 1

（1）證明：連接OD，
∵OC⊥BD，
∴DE=BE，
∵OB=OD，
∴∠BOC=∠DOC，
∵OC=OC，
在△OBC和△ODC中，
∴△OBC≌△ODC（SAS），
∴∠OBC=∠ODC．
又∵AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，
∴∠OBC=∠ODC=90°，
∴CD是⊙O的切線；

（2）∵△OBC≌△ODC，
∴BC=DC．
又DB=BC=12，
∴△BCD為等邊三角形．
∴∠BOD=360°-90°-90°-60°=120°，∠OBE=90°-60°=30°，BE=6．
∴OE=BE•tan30°=2，OB=2OE=4，
∴S_陰影部分=S_扇形OBD-S_△OBD=×12×2=16л-12（cm²）．
分析：（1）連接OD，然后證明△OBC≌△ODC可得∠OBC=∠ODC，再根據(jù)AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，可得∠OBC=∠ODC=90°，進(jìn)而得到CD是⊙O的切線；
（2）首先證明△BCD為等邊三角形，可得∠BCD=60°，進(jìn)而算出∠BOD的度數(shù)，計(jì)算出∠OBD和BE、OE、OB的長(zhǎng)，再根據(jù)S_陰影部分=S_扇形OBD-S_△OBD即可算出答案．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及扇形的面積計(jì)算，關(guān)鍵是掌握切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．