Question

20．某公司經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該公司生產(chǎn)的某商品在第x天的售價(jià)（1≤x≤100）為（x+30）元/件，而該商品每天的銷量滿足關(guān)系式y(tǒng)=200-2x．如果該商品第15天的售價(jià)按8折出售，仍然可以獲得20%的利潤(rùn)
（1）求該公司生產(chǎn)每件商品的成本為多少元
（2）問銷售該商品第幾天時(shí)，每天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
（3）該公司每天需要控制人工、水電和房租支出共計(jì)a元，若考慮這一因素后公司對(duì)最大利潤(rùn)要控制在4000元至4500元之間（包含4000和4500），且保證至少有90天贏利，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)該公司生產(chǎn)每件商品的成本為a元，根據(jù)：實(shí)際售價(jià)-成本=利潤(rùn)，列出方程，解方程可得；
（2）根據(jù)：每天利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×每天銷售量列出函數(shù)關(guān)系式，配方成頂點(diǎn)式可得函數(shù)的最值情況；
（3）根據(jù)（2）中每天利潤(rùn)減去每天開支a元列出函數(shù)關(guān)系式P=-2（x-50）²+5000-a，根據(jù)最大利潤(rùn)要控制在4000元至4500元之間可得關(guān)于a的不等式，解不等式可得a的取值范圍，再由至少有90天的盈利可知-2x²+200x-a=0的兩根x₁、x₂間距離x₁-x₂≥90，根據(jù)韋達(dá)定理可得關(guān)于a的不等式，求得a的范圍，綜合上述情況確定a的范圍．

解答 解：（1）設(shè)該公司生產(chǎn)每件商品的成本為m元，則
（1+20%）•m=0.8×（15+30）
解得，m=30，
即該公司生產(chǎn)每件商品的成本為30元；

（2）設(shè)銷售該商品第x天時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)為w元，則
w=（200-2x）（x+30-30）=-2（x-50）²+5000，
∴當(dāng)x=50時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w=5000，
即銷售該商品第50天時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)5000元；

（3）記公司每天控制人工、水電和房租支出共計(jì)a元后利潤(rùn)為P，
則P=-2（x-50）²+5000-a，
根據(jù)題意：4000≤5000-a≤4500，
解得：500≤a≤1000，
又∵至少有90天的盈利，
∴-2x²+200x-a=0的兩根x₁、x₂間距離x₁-x₂≥90，
∴（x₁-x₂）²≥90²，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂≥90²，
∵x₁+x₂=100，x₁x₂=$\frac{a}{2}$，
∴100²-4×$\frac{a}{2}$≥90²，
解得：a≤950，
綜上，500≤a≤950．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用能力，明確不等關(guān)系并據(jù)此列出方程或函數(shù)關(guān)系式是解題基礎(chǔ)，根據(jù)題意挖掘出不等關(guān)系求a的范圍是關(guān)鍵．