Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一矩形ABCD（O為原點(diǎn)），點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，且C點(diǎn)坐標(biāo)為（0,6）；將BCD沿BD折疊（D點(diǎn)在OC邊上），使C點(diǎn)落在OA邊的E點(diǎn)上，并將BAE沿BE折疊，恰好使點(diǎn)A落在BD的點(diǎn)F上.

(1)直接寫出∠ABE、∠CBD的度數(shù)，并求折痕BD所在直線的函數(shù)解析式；

(2)過(guò)F點(diǎn)作FG⊥x軸，垂足為G，F(xiàn)G的中點(diǎn)為H，若拋物線經(jīng)過(guò)B、H、D三點(diǎn)，求拋物線的函數(shù)解析式；

(3)若點(diǎn)P是矩形內(nèi)部的點(diǎn)，且點(diǎn)P在（2）中的拋物線上運(yùn)動(dòng)（不含B、D點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC分別交BC和BD于點(diǎn)N、M，設(shè)h=PM-MN，試求出h與P點(diǎn)橫坐標(biāo)x的函數(shù)解析式，并畫出該函數(shù)的簡(jiǎn)圖，分別寫出使PM<NM、PM=MN、PM>MN成立的x的取值范圍。

Answer 1

解：（1）∠ABE＝∠CBD=30°   

在△ABE中，AB＝6

BC=BE=

CD=BCtan30°=4

∴OD=OC-CD=2

∴B(，6)   D(0,2)

設(shè)BD所在直線的函數(shù)解析式是y=kx+b

   ∴ 

所以BD所在直線的函數(shù)解析式是

(2)∵EF=EA=ABtan30°=   ∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°

又∵FG⊥OA     

∴FG＝EFsin60°=3       GE=EFcos60°=   OG=OA-AE-GE=

又H為FG中點(diǎn)

∴H（，）                                          

∵B(，6) 、  D(0,2)、 H（，）在拋物線圖象上

      ∴  

∴拋物線的解析式是

(2)∵M(jìn)P=

MN=6-

H=MP-MN=

由得

該函數(shù)簡(jiǎn)圖如圖所示：

當(dāng)0<x<時(shí),h<0，即HP<MN

當(dāng)x=時(shí)，h=0，即HP=MN

當(dāng)<x<時(shí)，h>0，即HP>MN