Question

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中點，連接AE、AC．
（1）點F是DC上一點，連接EF，交AC于點O（如圖1），求證：△AOE∽△COF；
（2）若點F是DC的中點，連接BD，交AE與點G（如圖2），求證：四邊形EFDG是菱形．

Answer 1

分析：（1）由點E是BC的中點，BC=2AD，可證得四邊形AECD為平行四邊形，即可得△AOE∽△COF；
（2）連接DE，易得四邊形ABED是平行四邊形，又由∠ABE=90°，可證得四邊形ABED是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易證得EF=GD=GE=DF，則可得四邊形EFDG是菱形．

解答：證明：（1）∵點E是BC的中點，BC=2AD，
∴EC=BE=

1

2

BC=AD，
又∵AD∥BC，
∴四邊形AECD為平行四邊形，
∴AE∥DC，
∴△AOE∽△COF；

（2）連接DE，
∵AD∥BE，AD=BE，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
又∠ABE=90°，
∴四邊形ABED是矩形，
∴GE=GA=GB=GD=

1

2

BD=

1

2

AE，
∴E、F分別是BC、CD的中點，
∴EF、GE是△CBD的兩條中位線，
∴EF=

1

2

BD=GD，GE=

1

2

CD=DF，
又GE=GD，
∴EF=GD=GE=DF，
∴四邊形EFDG是菱形．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形與菱形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．