Question

我們定義：a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的衍生數(shù)．如：2的衍生數(shù)是，-1的衍生數(shù)是．
（1）若a的衍生數(shù)等于，求a的值；
（2）已知a₁=，a₂是a₁的衍生數(shù)，a₃是a₂的衍生數(shù)，a₄是a₃的衍生數(shù)，…，依此類推，求a₂₀₁₁的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意可得分式方程：=，解此方程即可求得答案；
（2）首先根據(jù)題意求得a₂，a₃，a₄的值，可得規(guī)律：a_n的衍生數(shù)3次一循環(huán)，繼而求得答案．
解答：解：（1）根據(jù)題意得：=，
解得a=-，
經(jīng)檢驗，a=-是原分式方程的解．
即a=-；

（2）∵a₁=，
∴a₁的衍生數(shù)a₂==，
a₂的衍生數(shù)a₃==4，
a₃的衍生數(shù)a₄==-，
a₄的衍生數(shù)a₅==；
∴a_n的衍生數(shù)3次一循環(huán)，
∵2011÷3=670…1；
∴a₂₀₁₁=a₁=．
點評：此題考查了分式方程的求解方法．此題難度適中，屬于規(guī)律性題目，注意得到規(guī)律：a_n的衍生數(shù)3次一循環(huán)，是解此題的關(guān)鍵．