Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，直線BC與⊙O相切于點(diǎn)B，過(guò)A作AD∥OC交⊙O于點(diǎn)D，連接CD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AD=2，直徑AB=6，求線段BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，要證明CD為圓O的切線，只要證明∠CDB=90°即可；
（2）連接BD，根據(jù)已知求得△ADB∽△OBC再根據(jù)相似比即可求得BC的值．
解答：（1）證明：連接OD，如圖所示：
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD．
∵AD∥CO，
∴∠COD=∠ODA，∠COB=∠OAD．
∴∠COD=∠COB．
∵OD=OB，OC=OC，
∴△ODC≌△OBC．
∴∠ODC=∠OBC．
∵CB是圓O的切線且OB為半徑，
∴∠CBO=90°．
∴∠CDO=90°．
∴OD⊥CD．
又∵CD經(jīng)過(guò)半徑OD的外端點(diǎn)D，
∴CD為圓O的切線．

（2）解：連接BD，CO，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°．
在直角△ADB中，BD=，
∵∠ADB=∠OBC=90°，且∠COB=∠BAD，
∴△ADB∽△OBC．（8分）
∴，即．
∴BC=6．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了等邊對(duì)等角，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，直徑對(duì)的圓周角是直角，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)求解．