如圖，已知點M是以AB為直徑的半圓上的一個三等分點，點N是弧BM的中點，點P是直徑AB上的點．若⊙O的半徑為1．
（1）用尺規(guī)在圖中作出點P，使MP+NP的值最�。ūＡ糇鲌D痕跡，不寫作法）；
（2）求MP+NP的最小值．
分析：（1）作點M關(guān)于直線AB的對稱點M′，連接M′N交直徑AB于點P，則點P即為所求點，M′N的長即為MP+NP的最小值；
（2）連接OM′，ON，先判斷出△OM′N的形狀，再根據(jù)勾股定理求解即可．
解答：解：（1）如圖1所示；

（2）如圖2，連接OM′，ON，
∵點M是以AB為直徑的半圓上的一個三等分點，點N是弧BM的中點，
∴∠BON=360°×
1
12
=30°，
∠M′OB=360°×
1
6
=60°，
∴∠M′ON=90°，
∴△OM′N是等腰直角三角形，
∴M′N=
ON2+OM′2
=
12+12
=
2
．
點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知兩點之間，線段最短是解答此題的關(guān)鍵．
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精英家教網(wǎng)如圖，已知點A是以MN為直徑的半圓上一個三等分點，點B是AN的中點，點P是半徑ON上的點，若⊙O的半徑為1，則AP+BP的最小值為
 
．

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（1）求證：AE•FD=AF•EC；
（2）求證：FC=FB；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑r的長．

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如圖，已知點A是以MN為直徑的半圓上一個三等分點，點B是
AN
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如圖，已知點C是以AB為直徑的⊙O上一點，CH⊥AB于點H，過點B作⊙O 的切線交直線AC于點D，點E為CH的中點，連結(jié)并延交BD于點F，直線CF交AB的延長線于G.
⑴求證：AE·FD=AF·EC；
⑵求證：FC=FB；
⑶若FB=FE=2，求⊙O 的半徑r的長.

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