如圖，已知點(diǎn)M是以AB為直徑的半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)N是弧BM的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑AB上的點(diǎn)．若⊙O的半徑為1．
（1）用尺規(guī)在圖中作出點(diǎn)P，使MP+NP的值最�。ūＡ糇鲌D痕跡，不寫作法）；
（2）求MP+NP的最小值．
分析：（1）作點(diǎn)M關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′N交直徑AB于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)，M′N的長(zhǎng)即為MP+NP的最小值；
（2）連接OM′，ON，先判斷出△OM′N的形狀，再根據(jù)勾股定理求解即可．
解答：解：（1）如圖1所示；

（2）如圖2，連接OM′，ON，
∵點(diǎn)M是以AB為直徑的半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)N是弧BM的中點(diǎn)，
∴∠BON=360°×
1
12
=30°，
∠M′OB=360°×
1
6
=60°，
∴∠M′ON=90°，
∴△OM′N是等腰直角三角形，
∴M′N=
ON2+OM′2
=
12+12
=
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，熟知兩點(diǎn)之間，線段最短是解答此題的關(guān)鍵．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知點(diǎn)A是以MN為直徑的半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)B是AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是半徑ON上的點(diǎn)，若⊙O的半徑為1，則AP+BP的最小值為
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•德陽(yáng)）如圖，已知點(diǎn)C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，CH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交直線AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為CH的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)F，直線CF交AB的延長(zhǎng)線于G．
（1）求證：AE•FD=AF•EC；
（2）求證：FC=FB；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑r的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知點(diǎn)A是以MN為直徑的半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)B是
AN
的中點(diǎn)，點(diǎn)P是半徑ON上的點(diǎn)．若⊙O的半徑為l，則AP+BP的最小值為（　�。�

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012年初中畢業(yè)升學(xué)考試（四川德陽(yáng)卷）數(shù)學(xué)（帶解析） 題型：解答題

如圖，已知點(diǎn)C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，CH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作⊙O 的切線交直線AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為CH的中點(diǎn)，連結(jié)并延交BD于點(diǎn)F，直線CF交AB的延長(zhǎng)線于G.
⑴求證：AE·FD=AF·EC；
⑵求證：FC=FB；
⑶若FB=FE=2，求⊙O 的半徑r的長(zhǎng).

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