Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點，且=，過點C作EF⊥AD交AD延長線于E，交AB延長線于F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若連結(jié)BC，請判斷∠BCF和∠BAC之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）若CE=4，AE=8，求⊙O的半徑和BF的長．

Answer 1

（1）證明：連接OC，
∵=，
∴∠BAC=∠CAE，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCA=∠CAE，
∴OC∥AE，
∴EF⊥AD，
∴OC⊥EF，
∴EF是⊙O的切線；
（2）∠BCF=∠BAC，
理由如下：
∵OC⊥EF，
∴∠BCF+∠OCB=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCB+∠OCA=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠BCF=∠BAC；
（2）∵CE=4，AE=8，
∴AC===4，
∴BC=2，
∴AB==10，
∴⊙O的半徑為5，
∵OC∥AE，
∴△FCO∽△FEA，
∴，
∴，
∴FC=，
∴FO==，
∴BF=FO-OB=-5=．
分析：（1）連接OC，若要證明EF是⊙O的切線，則只要證明OC⊥EF即可；
（2）∠BCF=∠BAC，根據(jù)等角的余角相等即可證明；
（3）首先利用勾股定理求出AB的長，即圓的直徑，所以半徑可求，由OC∥AD可得△FCO∽△FEA，利用相似的性質(zhì)可求出FC的長，再利用勾股定理可求出FO的長，進而求出BF的長．
點評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)以及圓周角定理等知識點，題目的綜合性很強，難度中等，對學生的綜合解題能力要求很高，特別是要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．