Question

【題目】如圖（1），已知∠,點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，且，、為射線和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（），過(guò)點(diǎn)作⊥，垂足為點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)．

（1）若時(shí)，求的值；

（2）設(shè)，求與之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

（3）如圖(2)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，點(diǎn)、在射線和上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探索線段的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求出它的值。若發(fā)生變化，試用含x的代數(shù)式表示的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）(x>2)；（3）OQ的長(zhǎng)度等于3.

【解析】

（1）根據(jù)有兩對(duì)角相等的三角形相似可證明△CAP∽△COB，由相似三角形的性質(zhì)可知：，在由已知條件可求出OB的長(zhǎng)，由正切的定義計(jì)算即可；

（2）作AE⊥PC于E，易證△PAE∽△PCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等，再利用平行線的性質(zhì)即可得到 ，所以，整理即可得到求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域即可；

（3）點(diǎn)B、C在射線OM和ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探索線段OQ的長(zhǎng)不發(fā)生變化，由△PAH∽△PBA得：，即PA=PHPB，由△PHQ∽△POB得：即PQPO=PHPB，所以PA=PQPO，再由已知數(shù)據(jù)即可求出OQ的長(zhǎng)．

（1）∵∠ACP=∠OCB ∠CAP=∠O=90°

∴△CAP∽△COB

∴

∵

∴

∴

∵AP=2

∴

在Rt△OBP中，

（2）作AE⊥PC，垂足為E，

易證△PAE∽△PCA

∴

∴

∴

∵∠MON=∠AEC=90°

∴ AE∥OM

∴

∴

整理得(x>2)

（3）線段OQ的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化

由△PAH∽△PBA

得

即

由△PHQ∽△POB

得

即

∴

∵PA=2 PO=4

∴PQ=1

∴OQ=3

即OQ的長(zhǎng)度等于3.