Question

已知關(guān)于x的方程（a-1）x²+2（a-2）x+a+1=0
（1）就a的值討論方程根的情況；
（2）若原方程有實(shí)數(shù)根x=k，求代數(shù)式a（k+1）²-（k²+4k-5）值．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=1時，（a-1）x²+2（a-2）x+a+1=0變?yōu)?（a-2）x+a+1=0，
此時方程有一個實(shí)數(shù)根；
當(dāng)a≠1時，△=4（a-2）²-4（a+1）（a-1）=-16a+20
∴當(dāng)-16a+20＞0即a＜時原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)-16a+20=0即a=時原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)-16a+20＜0即a＞時原方程沒有實(shí)數(shù)根；

（2）將x=k代入（a-1）x²+2（a-2）x+a+1=0得：
（a-1）k²+2（a-2）k+a+1=0
展開得：ak²-k²+2ak-4k+a+1=0
a（k²+2k+1）-（k²+4k-1）=0
整理得：a（k+1）²-（k²+4k-1）=0
∴a（k+1）²-（k²+4k-5）=a（k+1）²-（k²+4k-1）+4=0+4=4．
分析：（1）分a=1和a≠1兩種情況就可以得到方程根的情況；
（2）將x=k代入原方程整理后a（k+1）²-（k²+4k-1）=0后代入a（k+1）²-（k²+4k-5）即可求解．
點(diǎn)評：本題考查了根的判別式的知識，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的數(shù)學(xué)思想對原題可能會出現(xiàn)的不同情況討論．