Question

【題目】正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，如圖所示，在劣弧 上取一點E，連接DE、BE，過點D作DF∥BE交⊙O于點F，連接BF、AF，且AF與DE相交于點G，求證：
（1）四邊形EBFD是矩形；
（2）DG=BE．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，

∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，

又∵DF∥BE，

∴∠EDF+∠BED=180°，

∴∠EDF=90°，

∴四邊形EBFD是矩形．

（2）

證明：∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴ 的度數(shù)是90°，

∴∠AFD=45°，

又∵∠GDF=90°，

∴∠DGF=∠DFC=45°，

∴DG=DF，

又∵在矩形EBFD中，BE=DF，

∴BE=DG．

【解析】（1）直接利用正方形的性質(zhì)、圓周角定理結(jié)合平行線的性質(zhì)得出∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，∠EDF=90°，進(jìn)而得出答案；
　　　　（2）直接利用正方形的性質(zhì) 的度數(shù)是90°，進(jìn)而得出BE=DF，則BE=DG．此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及圓周角定理和矩形的判定等知識，正確應(yīng)用正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用矩形的判定方法和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．