Question

【題目】如圖，二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象經過點A（4，0），B（﹣4，﹣4），且與y軸交于點C．

（1）求此二次函數的解析式；

（2）證明：AO平分∠BAC；

（3）在二次函數對稱軸上是否存在一點P使得AP＝BP？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）見解析；（3）存在．點P的坐標為（1，﹣4）；

【解析】

（1）將點A（4，0）與點B（4，4）代入函數解析式即可；

（2）求出直線AB的解析式，求出AB與y軸交點D（0，2），可得OC＝OD，再由AO⊥CD，可證AO平分∠BAC；

（3）二次函數的對稱軸為直線x＝1，設點P的坐標為（1，m），AP2＝（41）2＋m2，BP2＝（1＋4）2＋（m4）2，當AP＝BP時，求出m＝4即可；

（1）∵點A（4，0）與點B（﹣4，4）在二次函數的圖象上，

∴，

解得，

∴二次函數的解析式為y＝；

（2）設直線AB的解析式為y＝ax+n

則有，

解得，

故直線AB的解析式為y＝x﹣2，

設直線AB與y軸的交點為點D，

x＝0，

則y＝﹣2，

故點D為（0，﹣2），

由（1）可知點C為（0，2），

∴OC＝OD

又∵AO⊥CD，

∴AO平分∠BAC；

（3）存在．

∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣1）2++2，

∴二次函數的對稱軸為直線x＝1，

設點P的坐標為（1，m），

AP2＝（4﹣1）2+m2，BP2＝（1+4）2+（m4）2，

當AP＝BP時，AP2＝BP2，

則有9+m2＝25+m2+16+8m，

解得m＝﹣4，

∴點P的坐標為（1，﹣4）；