Question

（2012•沙河口區(qū)模擬）如圖，河旁有一座小山，從山頂A處測(cè)得河對(duì)岸點(diǎn)C的俯角為30°，測(cè)得岸邊點(diǎn)D的俯角為45°，又知河寬CD為50米．現(xiàn)需從山頂A到河對(duì)岸點(diǎn)C拉一條筆直的纜繩AC．
（1）求纜繩AC的長(zhǎng)．（精確到0.1米）
（2）若在纜繩上有一輛纜車正以1000米每小時(shí)的速度從A出發(fā)求經(jīng)過(guò)多少分鐘后能夠到達(dá)C（精確到0.1小時(shí)）（參考數(shù)據(jù)：

2

≈1.41，

3

≈1.73，

5

≈2.24，

6

≈2.45）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，本題涉及到兩個(gè)直角三角形△ABC和△ABD，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造等量關(guān)系，進(jìn)而可求出AC的長(zhǎng)度；
（2）根據(jù)（1）求得的AC的長(zhǎng)度和纜車的速度，容易求得所用的時(shí)間．

解答：解：作AB⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=∠CAE=30°，
∴AC=2AB，
在Rt△ABD中，∵∠ADB=∠EAD=45°，
∴DB=AB，
設(shè)AB=x，則BD=x，AC=2x，CB=50+x，
∵tan∠ACB=tan30°=

AB

BC

，
∴AB=BC•tan∠ACB=BC•tan30°，即x=（50+x）•

3

3

，
解得：x=25（1+

3

），
∴AC=50（1+

3

）≈136.5（米），
即纜繩AC的長(zhǎng)為136.5米；

（2）t=

AC

v

=

136.5

1000

=0.1365（h）≈8.2（分鐘），
答：經(jīng)過(guò)8.2分鐘后能夠到達(dá)C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．