如圖,已知拋物線過點(diǎn)A(0,6),B(2,0),C(7,). 若D是拋物線的頂點(diǎn),E是拋物線的對(duì)稱軸與直線AC的交點(diǎn),F(xiàn)與E關(guān)于D對(duì)稱.

(1)求拋物線的解析式;

(2)求證:∠CFE=∠AFE;

(3)在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P,使△AFP與△FDC相似,若有,請(qǐng)求出所有合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若沒有,請(qǐng)說明理由.

 

 

 

【答案】

解:(1)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0,6),B(2,0),C(7,)的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,

則:

解得

∴ 此拋物線的解析式為

(2)過點(diǎn)A作AM∥x軸,交FC于點(diǎn)M,交對(duì)稱軸于點(diǎn)N.

∵拋物線的解析式可變形為

∴拋物線對(duì)稱軸是直線x =4,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,-2).則AN=4.

設(shè)直線AC的解析式為,

則有,解得.

∴  直線AC的解析式為

當(dāng)x=4時(shí),

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,4),

∵點(diǎn)F與E關(guān)于點(diǎn)D對(duì)稱,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,-8)

設(shè)直線FC的解析式為,

則有,解得.

∴  直線AC的解析式為

∵AM與x軸平行,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為6.

當(dāng)y=6時(shí),則有解得x=8.

∴AM=8,MN=AM—MN=4[來源:Zxxk.Com]

∴AN=MN

∵FN⊥AM

∴∠ANF=∠MNF

又NF=NF

∴△ANF≌△MNF

∴∠CFE=∠AFE

(3)∵C的坐標(biāo)為(7,),F(xiàn)坐標(biāo)為(4,-8)

∵又A的坐標(biāo)為(0,6),則,

又DF=6,

若△AFP∽△DEF

∵EF∥AO,則有∠PAF=∠AFE,

又由(2)可知∠DFC=∠AFE

∴∠PAF=∠DFC

若△AFP1∽△FCD

,即,解得P1A=8.

∴O P1=8-6=2

∴P1的坐標(biāo)為(0,-2)

若△AFP2∽△FDC

,即,解得P2A=.

∴O P2=-6=.

∴P2的坐標(biāo)為(0,-

所以符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)不兩個(gè),分別是P1(0,-2),P2(0,-).

【解析】(1)用待定系數(shù)法,知道拋物線上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),可以用一般式來求解析式

(2)求證角相等,可以利用全等三角形或找中間量或放在等腰三角形里,本題通過構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形來解決

(3)題目出現(xiàn)“使△AFP與△FDC相似”,肯定需要分情況討論,由于∠PAF=∠DFC,

只有兩種情況①△AFP∽△FCD②△AFP∽△FDC

 

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5
,-
12
5
)

(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式及對(duì)稱軸;
(2)點(diǎn)C′是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn),證明直線y=-
4
3
(x+1)
必經(jīng)過點(diǎn)C′.

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).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若D是拋物線的頂點(diǎn),E是拋物線的對(duì)稱軸與直線AC的交點(diǎn),F(xiàn)與E關(guān)于D對(duì)稱,求證:∠CFE=∠AFE;
(3)在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P,使△AFP與△FDC相似?若有請(qǐng)求出所有符和條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若沒有,請(qǐng)說明理由.

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(1)求該拋物線的解析式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若P是拋物線上C、B兩點(diǎn)之間的一動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)連接CP、BP,是否存在點(diǎn)P,使得四邊形OBPC的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(1)求拋物線的解析式;
(2)求證:點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于頂點(diǎn)D對(duì)稱;
(3)在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P,使△AFP與△FDC相似?若有,請(qǐng)求出所有合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若沒有,請(qǐng)說明理由.

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