如圖,已知拋物線過點(diǎn)A(0,6),B(2,0),C(7,). 若D是拋物線的頂點(diǎn),E是拋物線的對(duì)稱軸與直線AC的交點(diǎn),F(xiàn)與E關(guān)于D對(duì)稱.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求證:∠CFE=∠AFE;
(3)在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P,使△AFP與△FDC相似,若有,請(qǐng)求出所有合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若沒有,請(qǐng)說明理由.
解:(1)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0,6),B(2,0),C(7,)的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,
則:
解得
∴ 此拋物線的解析式為
(2)過點(diǎn)A作AM∥x軸,交FC于點(diǎn)M,交對(duì)稱軸于點(diǎn)N.
∵拋物線的解析式可變形為
∴拋物線對(duì)稱軸是直線x =4,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,-2).則AN=4.
設(shè)直線AC的解析式為,
則有,解得.
∴ 直線AC的解析式為
當(dāng)x=4時(shí),
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,4),
∵點(diǎn)F與E關(guān)于點(diǎn)D對(duì)稱,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,-8)
設(shè)直線FC的解析式為,
則有,解得.
∴ 直線AC的解析式為
∵AM與x軸平行,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為6.
當(dāng)y=6時(shí),則有解得x=8.
∴AM=8,MN=AM—MN=4[來源:Zxxk.Com]
∴AN=MN
∵FN⊥AM
∴∠ANF=∠MNF
又NF=NF
∴△ANF≌△MNF
∴∠CFE=∠AFE
(3)∵C的坐標(biāo)為(7,),F(xiàn)坐標(biāo)為(4,-8)
∴
∵又A的坐標(biāo)為(0,6),則,
又DF=6,
若△AFP∽△DEF
∵EF∥AO,則有∠PAF=∠AFE,
又由(2)可知∠DFC=∠AFE
∴∠PAF=∠DFC
若△AFP1∽△FCD
則,即,解得P1A=8.
∴O P1=8-6=2
∴P1的坐標(biāo)為(0,-2)
若△AFP2∽△FDC
則,即,解得P2A=.
∴O P2=-6=.
∴P2的坐標(biāo)為(0,-)
所以符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)不兩個(gè),分別是P1(0,-2),P2(0,-).
【解析】(1)用待定系數(shù)法,知道拋物線上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),可以用一般式來求解析式
(2)求證角相等,可以利用全等三角形或找中間量或放在等腰三角形里,本題通過構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形來解決
(3)題目出現(xiàn)“使△AFP與△FDC相似”,肯定需要分情況討論,由于∠PAF=∠DFC,
只有兩種情況①△AFP∽△FCD②△AFP∽△FDC
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