如圖,直徑AB=12cm,AM、BN是⊙O的切線,切點(diǎn)分別為A、B.
(1)若AD=4cm,DC是⊙O的切線,切點(diǎn)為E,求BC的長(zhǎng).
(2)若一只螞蟻從B點(diǎn)出發(fā)沿BA方向走到G點(diǎn),速度為每秒4cm;同時(shí)另一只螞蟻也從B點(diǎn)出發(fā)沿BN方向走到H點(diǎn),速度為每秒3cm,連接GH,求經(jīng)過多少秒后,GH與⊙O相切(結(jié)果保留根號(hào)).
分析:(1)根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到BF=AD=x,CE=CB=y,則DC=DE+CE=x+y,在直角△DFC中根據(jù)勾股定理,就可以求出y與x的關(guān)系,即線段BC與已知線段AD間的數(shù)量關(guān)系;
(2)設(shè)經(jīng)過t秒后,GH與⊙O相切.如備用圖,過點(diǎn)A作AD⊥AB交GH于點(diǎn)C,構(gòu)建相似三角形△GAD∽△GBH,則對(duì)應(yīng)邊成比例:
GA
GB
=
AD
BH
,即
4t-12
4t
=
AD
3t
,①
由(1)知,當(dāng)GH與⊙O相切時(shí),BH=
36
AD
,即3t=
36
AD
②,根據(jù)①②即可求得t的值.
解答:解:作DF⊥BN交BC于F;
∵AM、BN與⊙O切于點(diǎn)定A、B,
∴AB⊥AM,AB⊥BN.
又∵DF⊥BN,
∴∠A=∠B=∠BFD=90°,
∴四邊形ABFD是矩形,
∴BF=AD=x,DF=AB=12,
∵BC=y,
∴FC=BC-BF=y-x;
∵DE切⊙O于E,
∴DE=DA=x CE=CB=y,
則DC=DE+CE=x+y,
在Rt△DFC中,
由勾股定理得:(x+y)2=(x-y)2+122,
整理為y=
36
x
,即BC=
36
4
=9(cm),即BC的長(zhǎng)度為9cm;

(2)設(shè)經(jīng)過t秒后,GH與⊙O相切.
如備用圖,過點(diǎn)A作AD⊥AB交GH于點(diǎn)C.
∵BN是⊙O的切線,
∴BN⊥AB,
∴AD∥BH,
∴△GAD∽△GBH,
GA
GB
=
AD
BH
,即
4t-12
4t
=
AD
3t
,①
由(1)知,當(dāng)GH與⊙O相切時(shí),BH=
36
AD
,即3t=
36
AD
,②
由①②解得t=4或t=-1(舍去).
所以,當(dāng)經(jīng)過4秒后,GH與⊙O相切.
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓的綜合題.其中涉及到了矩形的判定與性質(zhì),勾股定理,切線的性質(zhì).解答(2)題時(shí),可以直接利用(1)中的函數(shù)關(guān)系式.
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(2013•新余模擬)如圖,直徑AB為12的半圓,繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,此時(shí)點(diǎn)B到了點(diǎn)B′,則圖中陰影部分的面積是
18π
18π

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如圖,直徑AB為12的半圓,繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,此時(shí)點(diǎn)B到了點(diǎn)B’,則圖中陰影部分的面積是*********  .

 

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如圖,直徑AB為12的半圓,繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,此時(shí)點(diǎn)B到了點(diǎn)B′,則圖中陰影部分的面積是   

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