Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC＝5，cos∠ABC＝，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到△A1B1C．

（1）如圖①，當點B1在線段BA延長線上時．①求證：BB1∥CA1；②求△AB1C的面積；

（2）如圖②，點E是BC邊的中點，點F為線段AB上的動點，在△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)過程中，點F的對應點是F1，求線段EF1長度的最大值與最小值的差．

Answer 1

【答案】（1）①證明見試題解析；②；（2）．

【解析】試題分析：（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明；

②過A作AF⊥BC于F，過C作CE⊥AB于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式解答；

（2）過C作CF⊥AB于F，以C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F1，和以C為圓心BC為半徑畫圓交BC的延長線于F1，得出最大和最小值解答即可．

試題解析：（1）①證明：∵AB=AC，B1C=BC，

∴∠AB1C=∠B，∠B=∠ACB，

∵∠AB1C=∠ACB（旋轉(zhuǎn)角相等），

∴∠B1CA1=∠AB1C，

∴BB1∥CA1；

②過A作AF⊥BC于F，過C作CE⊥AB于E，如圖1：

∵AB=AC，AF⊥BC，BC=6，

∴BF=CF=3，

∴B1C=BC=6，

可得：B1B=2BE，

∵EC=，

∴BE=，則BB1=，

故AB1=﹣5=，

∴△AB1C的面積為：；

（2）如圖2，過C作CF⊥AB于F，以C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F1，EF1有最小值，

此時在Rt△BFC中，CF=，

∴CF1=，

∴EF1的最小值為﹣3=；

如圖，以C為圓心BC為半徑畫圓交BC的延長線于F1，EF1有最大值；

此時EF1=EC+CF1=3+6=9，

∴線段EF1的最大值與最小值的差為9﹣=．