Question

【題目】已知拋物線的頂點是C（0，a）（a＞0，a為常數(shù)），并經(jīng)過點（2a，2a），點D（0，2a）為一定點．

（1）求含有常數(shù)a的拋物線的解析式；
（2）設(shè)點P是拋物線上任意一點，過P作PH丄x軸．垂足是H，求證：PD=PH；
（3）設(shè)過原點O的直線l與拋物線在笫一象限相交于A、B兩點，若DA=2DB．且S△ABD=4 ．求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)拋物線的解析式為y=kx2+a，

∵經(jīng)過點（2a，2a），

4a2k+a=2a，

∴k= ，

則拋物線的解析式為：y= x2+a

（2）

解：連接PD，設(shè)拋物線上一點P（x，y），過P作PH⊥x軸，PG⊥y軸，

在Rt△GDP中，由勾股定理得：PD2=DG2+PG2=（y﹣2a）2+x2=y2﹣4ay+4a2+x2，

∵y= x2+a，

∴x2=4a×（y﹣a）=4ay﹣4a2，

∴PD2=y2﹣4ay+4a2+4ay﹣4a2=y2=PH2，

∴PD=PH

（3）

解：過B作BE⊥x，AF⊥x，

由（2）的結(jié)論：BE=DB，AF=DA，

∵DA=2DB，

∴AF=2BE，

∴AO=2OB，

∴B是OA的中點，

∵C是OD的中點，

連接BC，∴BC= = =BE=DB，

過B作BR⊥y軸，

∵BR⊥CD，

∴CR=DR，OR=a+ = ，

∴ = x2+a，

∴x2=2a2，

∵x＞0，

∴x= a，

∴B（ a， ），AO=2OB，

∴S△OBD=S△ABD=4 ，

∴ ×2a× a=4 ，

∴a2=4，

∵a＞0，

∴a=2

【解析】（1）根據(jù)拋物線的圖象假設(shè)出解析式為y=kx2+a，將經(jīng)過點（2a，2a），代入求出即可；（2）根據(jù)勾股定理得出PD2=DG2+PG2 ， 進(jìn)而求出PD=PH；（3）利用（2）中結(jié)論得出BE=DB，AF=DA，即可得出B是OA的中點，進(jìn)而得出S△OBD=S△ABD=4 ，即可得出a的值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．