Question

如圖，O是原點．點P（x，y）且x+y=8，點A的坐標(biāo)為（6，0），設(shè)△OPA的面積為S．
（1）用含x的解析式表示S，寫出x的取值范圍．
（2）若點P在第一象限內(nèi)，當(dāng)點P所在的直線與X軸，Y軸分別相交于點B和C，且滿足△BAP∽△CPO，求此時△OPA的面積．
（3）是否存在點P，使△OPA是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題要分兩種情況解答（當(dāng)點P在第一、二象限內(nèi)；當(dāng)點P在第四象限內(nèi)和x軸上時）．
（2）過點P作PQ⊥X軸，交x軸于點Q，證明△BAP∽△CPO后利用線段比求出x的值，易求S_△OAP．
（3）本題要分三種情況解答（OA=OP；PO=PA；AO=AP）．

解答：解：（1）∵x+y=8，∴
y=-x+8，即y是x的一次函數(shù)，
∴它過的象限為一，二，四，
①當(dāng)點P在第一、二象限內(nèi)．
∵A和P點的坐標(biāo)分別是（6，0）、（x，y），
∴S=3y．
∵x+y=8，∴y=8-x．
∴S=3（8-x）=24-3x．
∴所求的函數(shù)關(guān)系式為：S=-3x+24，（x＜8）；（1分）
②當(dāng)點P在第四象限內(nèi)和x軸上時．
S=

1

2

OA•|y|=-3y=-3（8-x）=-24+3x，（x≥8）．                    （2分）

（2）過點P作PQ⊥X軸，交x軸于點Q．
∵∠OBC=45°，
∴BP=

2

y．
∴CP=

2

（8-y）
∵△BAP∽△CPO，
∴

BA

CP

=

BP

CO

，
即

2

2 (8-y)

=

2 y

8

∴x=4±2

2

．
∴S_△OAP=

6×(4±2 2 )

2

=12±6

2

．

（3）①當(dāng)OA=OP時，得點P₁（2，6），P₂（14，-6）；
②當(dāng)PO=PA時，得點P₃（3，5）；
③當(dāng)AO=AP時得點P4(

17

+7，1-

17

)，P5(-

17

+7，1+

17

)．     （5分）

點評：本題考查的是相似三角形的判定以及一次函數(shù)的綜合運用，考生要注意的是學(xué)會全面分析題目解答．