Question

如圖，O是原點(diǎn)．點(diǎn)P（x，y）且x+y=8，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），設(shè)△OPA的面積為S．
（1）用含x的解析式表示S，寫出x的取值范圍．
（2）若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，當(dāng)點(diǎn)P所在的直線與X軸，Y軸分別相交于點(diǎn)B和C，且滿足△BAP∽△CPO，求此時(shí)△OPA的面積．
（3）是否存在點(diǎn)P，使△OPA是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題要分兩種情況解答（當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限內(nèi)；當(dāng)點(diǎn)P在第四象限內(nèi)和x軸上時(shí)）．
（2）過點(diǎn)P作PQ⊥X軸，交x軸于點(diǎn)Q，證明△BAP∽△CPO后利用線段比求出x的值，易求S_△OAP．
（3）本題要分三種情況解答（OA=OP；PO=PA；AO=AP）．
解答：解：（1）∵x+y=8，∴
y=-x+8，即y是x的一次函數(shù)，
∴它過的象限為一，二，四，
①當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限內(nèi)．
∵A和P點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（6，0）、（x，y），
∴S=3y．
∵x+y=8，∴y=8-x．
∴S=3（8-x）=24-3x．
∴所求的函數(shù)關(guān)系式為：S=-3x+24，（x＜8）；（1分）
②當(dāng)點(diǎn)P在第四象限內(nèi)和x軸上時(shí)．
S=OA•|y|=-3y=-3（8-x）=-24+3x，（x≥8）．                    （2分）

（2）過點(diǎn)P作PQ⊥X軸，交x軸于點(diǎn)Q．
∵∠OBC=45°，
∴BP=y．
∴CP=（8-y）
∵△BAP∽△CPO，
∴，
即=
∴x=4±2．
∴S_△OAP==12±6．

（3）①當(dāng)OA=OP時(shí)，得點(diǎn)P₁（2，6），P₂（14，-6）；
②當(dāng)PO=PA時(shí)，得點(diǎn)P₃（3，5）；
③當(dāng)AO=AP時(shí)得點(diǎn)．     （5分）
點(diǎn)評：本題考查的是相似三角形的判定以及一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，考生要注意的是學(xué)會(huì)全面分析題目解答．