Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點，交軸于點，且經(jīng)過點，連接．

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）△ANM與是否相似?若相似，請求出此時點、點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）若點是直線上方的拋物線上一動點(不與點重合)，過作軸交直線于點，以為直徑作⊙，則⊙在直線上所截得的線段長度的最大值等于 ．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）；（2）點M（0，）、點N（，0）或點M（0，），N（-3，0）或點M（-1，）、點N（-3，0）或N（，0）、M（-1，）；（3）QH有最大值，當(dāng)x=時，其最大值為．

【解析】

（1）用交點式函數(shù)表達式得：y=a（x-2）（x+3），將點D坐標(biāo)代入上式即可求解；
（2）分∠MAB=∠BAD、∠MAB=∠BDA，兩種大情況、四種小情況，分別求解即可；
（3）根據(jù)題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和三角函數(shù)，QH=PQcos∠PQH=PQ==，即可求解．

解：（1）用交點式函數(shù)表達式得：y=a（x-2）（x+3），
將點D坐標(biāo)代入上式并解得：，
故函數(shù)的表達式為：…①，
則點C（0，）；
（2）由題意得：AB=5，AD=10，BD=，
①∠MAN=∠ABD時，
（Ⅰ）當(dāng)△ANM∽△ABD時，
直線AD所在直線的k值為，則直線AM表達式中的k值為，
則直線AM的表達式為：，故點M（0，），
，則AN=，則點N（，0）；
（Ⅱ）當(dāng)△AMN∽△ABD時，
同理可得：點N（-3，0），點M（0，），
故點M（0，）、點N（，0）或點M（0，），N（-3，0）；
②∠MAN=∠BDA時，
（Ⅰ）△ABD∽△NMA時，
∵AD∥MN，則tan∠MAN=tan∠BDA=，
AM：y=（x-2），則點M（-1，）、點N（-3，0）；
（Ⅱ）當(dāng)△ABD∽△MNA時，
，即，

解得：AN=，
故點N（，0）、M（-1，）；
故：點M（-1，）、點N（-3，0）或N（，0）、M（-1，）；
綜上，點M（0，）、點N（，0）或點M（0，），N（-3，0）或點M（-1，）、點N（-3，0）或N（，0）、M（-1，）；
（3）如圖所示，連接PH，

由題意得：tan∠PQH=，則cos∠PQH=，
則直線AD的表達式為：y=，
設(shè)點P（x，），則點Q（x，），
則QH=PQcos∠PQH=PQ=

=

=，
∵，

故QH有最大值，當(dāng)x=時，其最大值為．