【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,AB=4,矩形OBDC的邊CD=1,延長DC交拋物線于點E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖2,點P是直線EO上方拋物線上的一個動點,過點P作y軸的平行線交直線EO于點G,作PH⊥EO,垂足為H.設PH的長為l,點P的橫坐標為m,求l與m的函數關系式(不必寫出m的取值范圍),并求出l的最大值;
(3)如果點N是拋物線對稱軸上的一點,拋物線上是否存在點M,使得以M,A,C,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有滿足條件的點M的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2;(2)l=﹣(m+)2+,;(3)(2,﹣)或(﹣4,﹣)或(﹣2,2).
【解析】試題分析:(1)由條件可求得A、B的坐標,利用待定系數法可求得拋物線解析式;
(2)可先求得E點坐標,從而可求得直線OE解析式,可知∠PGH=45°,用m可表示出PG的長,從而可表示出l的長,再利用二次函數的性質可求得其最大值;
(3)分AC為邊和AC為對角線,當AC為邊時,過M作對稱軸的垂線,垂足為F,則可證得△MFN≌△AOC,可求得M到對稱軸的距離,從而可求得M點的橫坐標,可求得M點的坐標;當AC為對角線時,設AC的中點為K,可求得K的橫坐標,從而可求得M的橫坐標,代入拋物線解析式可求得M點坐標.
試題解析:(1)∵矩形OBDC的邊CD=1,∴OB=1,∵AB=4,∴OA=3,∴A(﹣3,0),B(1,0),把A、B兩點坐標代入拋物線解析式可得:,解得:,∴拋物線解析式為;
(2)在中,令y=2可得2=,解得x=0或x=﹣2,∴E(﹣2,2),∴直線OE解析式為y=﹣x,由題意可得P(m,),∵PG∥y軸,∴G(m,﹣m),∵P在直線OE的上方,∴PG=﹣(﹣m)==,∵直線OE解析式為y=﹣x,∴∠PGH=∠COE=45°,∴l=PG= []=,∴當m=時,l有最大值,最大值為;
(3)①當AC為平行四邊形的邊時,則有MN∥AC,且MN=AC,如圖,過M作對稱軸的垂線,垂足為F,設AC交對稱軸于點L,則∠ALF=∠ACO=∠FNM,在△MFN和△AOC中,∵∠MFN=∠AOC,∠FNM=∠ACO,MN=AC,∴△MFN≌△AOC(AAS),∴MF=AO=3,∴點M到對稱軸的距離為3,又,∴拋物線對稱軸為x=﹣1,設M點坐標為(x,y),則|x+1|=3,解得x=2或x=﹣4,當x=2時,y=﹣,當x=﹣4時,y=,∴M點坐標為(2,﹣)或(﹣4,﹣);
②當AC為對角線時,設AC的中點為K,∵A(﹣3,0),C(0,2),∴K(﹣,1),∵點N在對稱軸上,∴點N的橫坐標為﹣1,設M點橫坐標為x,∴x+(﹣1)=2×(﹣)=﹣3,解得x=﹣2,此時y=2,∴M(﹣2,2);
綜上可知點M的坐標為(2,﹣)或(﹣4,﹣)或(﹣2,2).
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【題目】如圖,一次函數的圖象與軸交于點,與正比例函數的圖象相交于點,且.
(1)分別求出這兩個函數的解析式;
(2)求的面積;
(3)點在軸上,且是等腰三角形,請直接寫出點的坐標.
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【題目】新華文具用品店最近購進了一批鋼筆,進價為每支6元,為了合理定價,在銷售前4天試行機動價格,賣出時每支以10元為標準,超過10元的部分記為正,不足10元的部分記為負。文具店記錄了這四天該鋼筆的售價情況和售出情況,如下表所示:
第1天 | 第2天 | 第3天 | 第4天 | |
每支價格相對標準價格(元) | +1 | 0 | -1 | -2 |
售出支數(支) | 12 | 15 | 32 | 33 |
(1)填空:這四天中賺錢最多的是第______天,這天賺了______元錢;
(2)求新華文具用品店這四天出售這種鋼筆一共賺了多少錢;
(3)新華文具用品店準備用這四天賺的錢全部購進這種鋼筆,進價仍為每支6元為了促銷這種鋼筆,每只鋼筆的售價在10元的基礎上打九折,本次購進的這種鋼筆全部售出后共賺了多少錢?
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【題目】“校園安全”受到全社會的廣泛關注,某中學對部分學生就校園安全知識的了解程度,采用了隨機抽樣調查的方式,并根據收集到的信息進行統計,繪制了下面兩幅尚不完整的統計圖.
請你根據統計圖中所提供的信息解答下列問題:
(1)接受問卷調查的學生共有 人,扇形統計圖中“基本了解”部分所對應扇形的圓心角為 .
(2)請補全條形統計圖.
(3)若從對校園安全知識達到“了解”程度的3個女生和2個男生中隨機抽取2人參加校園安全知識競賽,請用畫樹狀圖或列表的方法求出恰好抽到1個男生和1個女生的概率.
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD的面積為32,對角線BD繞著它的中點O按順時針方向旋轉一定角度后,其所在直線分別交BC,AD于點E、F,若AF=3DF,則圖中陰影部分的面積等于_____
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【題目】如圖,△ABC內接于⊙O,且AB為⊙O的直徑OD⊥AB,與AC交于點E,與過點C的⊙O切線交于點D.
(1)若AC=6,BC=3,求OE的長.
(2)試判斷∠A與∠CDE的數量關系,并說明理由.
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【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,O點在BC邊上,∠BAC的平分線交⊙O于點D,連接BD、CD,過點D作BC的平行線,與AB的延長線相交于點P.
(1)求證:PD是⊙O的切線;
(2)求證:△PBD∽△DCA;
(3)當AB=6,AC=8時,求線段PB的長.
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【題目】如圖①,將邊長為2的正方形OABC如圖①放置,O為原點.
(Ⅰ)若將正方形OABC繞點O逆時針旋轉60°時,如圖②,求點A的坐標;
(Ⅱ)如圖③,若將圖①中的正方形OABC繞點O逆時針旋轉75°時,求點B的坐標.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的角平分線,點O為AB的中點,連接DO并延長到點E,使OE=OD,連接AE,BE.
(1)求證:四邊形AEBD是矩形;
(2)當∠BAC= 時,矩形AEBD是正方形.
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