【題目】如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(﹣3,0),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M,問在對稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△CMP為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)如圖②,若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接BE、CE,求四邊形BOCE面積的最大值,并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】解:(1)
(2)存在P1(-1, )、P2(1,6),P3(1, )
(3)連OE設(shè)四邊形BOCE的面積為S,點(diǎn)E的坐標(biāo)為()
∵E在第二象限
∴3<x<0 -x2-2x+3>0
∵S=S△BOE+S△COE=+×3×(-×)
=
∵-3<x<0
∴當(dāng)x=-時(shí),S最大為
此時(shí),E()
【解析】試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可;(2)分CP=MP、CM=CP、CM=MP三種情況討論,(3)過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F,設(shè)E(a,--2a+3)(-3<a<0),然后用a表示出四邊形BOCE面積,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定最大值即可得到點(diǎn)E坐標(biāo).
試題解析:解︰(1)由題知︰,解得︰
∴所求拋物線解析式為︰
(2)存在符合條件的點(diǎn)P,
其坐標(biāo)為P(-1,)或P(-1,-)或P(-1,6)或P(-1,)
(3)解法①:
過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F,設(shè)E(a,--2a+3)(-3<a<0)
∴EF=--2a+3,BF=a+3,OF=-a
∴S四邊形BOCE=BF·EF+(OC+EF)·OF
=(a+3)·(--2a+3)+(--2a+6)·(-a)
==-+
∴當(dāng)a=-時(shí),S四邊形BOCE最大,且最大值為.
此時(shí),點(diǎn)E坐標(biāo)為(-,)
解法②:
過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F,設(shè)E(x,y)(-3<x<0)
則S四邊形BOCE=(3+y)·(-x)+(3+x)·y
=(y-x)=()=-+
∴當(dāng)x=-時(shí),S四邊形BOCE最大,且最大值為.此時(shí),點(diǎn)E坐標(biāo)為(-,)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,E是AB邊上任意一點(diǎn),∠ECF=45°,CF交AD于點(diǎn)F,將△CBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△CDP,點(diǎn)P恰好在AD的延長線上.
(1)求證:EF=PF;
(2)直線EF與以C為圓心,CD為半徑的圓相切嗎?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校準(zhǔn)備組織290名師生進(jìn)行野外考察活動(dòng),行李共有100件,學(xué)校計(jì)劃租用甲、乙兩種型號的汽車共8輛,經(jīng)了解,甲種汽車每輛最多能載40人(不含司機(jī))和10件行李,乙種汽車每輛最多能載30人(不含司機(jī))和20件行李設(shè)租用甲種汽車x輛,請你幫助學(xué)校設(shè)計(jì)所有可能的租車方案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1:已知直線與軸,軸分別交于,兩點(diǎn),以為直角頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)做等腰Rt△.
(1)求,兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求所在直線的函數(shù)關(guān)系式;
(3)如圖2,直線交軸于點(diǎn),在直線上存在一點(diǎn),使是△的中線,求點(diǎn)E的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在6×8的網(wǎng)格圖中,每個(gè)小正方形邊長均為1,原點(diǎn)O和△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn).
(1)以O為位似中心,在網(wǎng)格圖中作△A′B′C′,使△A′B′C′與△ABC位似,且位似比為1:2;(保留作圖痕跡,不要求寫作法和證明)
(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4),則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為( , ),點(diǎn)C′的坐標(biāo)為( , ),S△A′B′C′:S△ABC= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB,AC所在直線的距離相等,且OB=OC.
(1)如圖1,若點(diǎn)O在邊BC上,OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分別為E,F.求證:AB=AC;
(2)如圖,若點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部,求證:AB=AC;
(3)若點(diǎn)O在△ABC的外部,AB=AC成立嗎?請畫出圖表示.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A1,A2,A3,…和B1,B2,B3,…分別在直線y=x+和x軸上,△OA1B1,△B1A2B2,△B2A3B3,…都是等腰直角三角形,如果A1(1,1),A2(,),那么點(diǎn)A3的縱坐標(biāo)是( )
A. B. 2cm C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠ABC=∠ADC,AB∥CD,E為射線BC上一點(diǎn),AE平分∠BAD.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí),求證:∠BAE=∠BEA.
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC延長線上時(shí),連接DE,若∠ADE=3∠CDE,∠AED=60°,求∠CED的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為鈍角三角形,將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到,連接,若,則的度數(shù)為
A. B. C. D.
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