Question

如圖，D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，過AD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E作AD的垂線EF，E為垂足，EF與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)O在AD上，AO=CO，BC∥EF．
（1）證明：AB=AC；
（2）證明：點(diǎn)O是△ABC的外接圓的圓心；
（3）當(dāng)AB=5，BC=6時(shí)，連接BE，若∠ABE=90°，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
∵BC∥EF，AD⊥EF，
∴AD⊥BC，
∴AB=AC；

（2）證明：連接BO，
∵BD=CD，AD⊥BC，
∴BO=CO，
∵AO=CO，
∴AO=BO=CO，
∴點(diǎn)O是△ABC的外接圓的圓心；

（3）解：連接BE，
∵AB=5，BC=6，AD⊥BC，BD=CD，
∴BD=BC=3，
∴在Rt△ABD中，AD=4，
∵∠ABE=∠ADB=90°，∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴，
即，
∴AE=．
分析：（1）由BC∥EF，AD⊥EF，可證得AD⊥BC，又由D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，即可得AD是線段BC的垂直平分線，則可證得AB=AC；
（2）由AD是線段BC的垂直平分線，可證得OB=OC，又由AO=CO，則可得AO=BO=CO，則問題得證；
（3）首先求得AD的長(zhǎng)，又由△ABE∽△ADB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得AE的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)接圓的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合較強(qiáng)，但難度不大，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．