Question

如圖，D是△ABC的邊BC的中點，過AD延長線上的點E作AD的垂線EF，E為垂足，EF與AB的延長線相交于點F，點O在AD上，AO=CO，BC∥EF．
（1）證明：AB=AC；
（2）證明：點O是△ABC的外接圓的圓心；
（3）當AB=5，BC=6時，連接BE，若∠ABE=90°，求AE的長．

Answer 1

（1）證明：∵D是△ABC的邊BC的中點，
∴BD=CD，
∵BC∥EF，AD⊥EF，
∴AD⊥BC，
∴AB=AC；

（2）證明：連接BO，
∵BD=CD，AD⊥BC，
∴BO=CO，
∵AO=CO，
∴AO=BO=CO，
∴點O是△ABC的外接圓的圓心；

（3）解：連接BE，
∵AB=5，BC=6，AD⊥BC，BD=CD，
∴BD=BC=3，
∴在Rt△ABD中，AD=4，
∵∠ABE=∠ADB=90°，∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴，
即，
∴AE=．
分析：（1）由BC∥EF，AD⊥EF，可證得AD⊥BC，又由D是△ABC的邊BC的中點，即可得AD是線段BC的垂直平分線，則可證得AB=AC；
（2）由AD是線段BC的垂直平分線，可證得OB=OC，又由AO=CO，則可得AO=BO=CO，則問題得證；
（3）首先求得AD的長，又由△ABE∽△ADB，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求得AE的長．
點評：此題考查了線段垂直平分線的性質，三角形內接圓的性質以及相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合較強，但難度不大，解題的關鍵是數(shù)形結合思想的應用．