Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的一邊OA在x軸上，點B的坐標為（4，3），雙曲線（x＞0）交線段BC于點P（不與端點B、C重合），交線段AB于點Q

（1）若P為邊BC的中點，求雙曲線的函數(shù)表達式及點Q的坐標；

（2）求k的取值范圍；

（3）連接PQ，AC，判斷：PQ∥AC是否總成立？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=，（4，）（2）0＜k＜12（3）PQ∥AC總成立

【解析】

試題分析：（1）先求出點P坐標，再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，根據(jù)點Q的橫坐標即可求出點Q的縱坐標．

（2）設(shè)點P（x，3），則x=，列出不等式即可解決問題．

（3）根據(jù)兩邊成比例夾角相等的兩個三角形相似證明△BPQ∽△BCA，即可解決問題．

試題解析：（1）∵四邊形OABC是矩形，

∴BC∥OA，

∵點B坐標（4，3），

∴BC=4，AB=3，

∵PC=PB，

∴點P坐標（2，3），

∴反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=，

∵點Q的橫坐標為4，

∴點Q的坐標為（4，）．

（2）設(shè)點P坐標（x，3），則0＜x＜4，

把點P（x，3）代入y=得到，x=，

∴0＜＜4，

∴0＜k＜12．

（3）結(jié)論：PQ∥AC總成立．

理由：設(shè)P（m，3），Q（4，n），則3m=4n=k，

∴，

，

∴，

∵∠B=∠B，

∴△BPQ∽△BCA，

∴∠BPQ=∠BCA，

∴PQ∥AC．