Question

在△ABC中，∠C=90°，∠CBA的外角平分線，交AC的延長線于F，交斜邊上的高CD的延長線于E，EG∥AC交AB的延長線于G，則下列結(jié)論：①CF=CE；②GE=CF；③EF是CG的垂直平分線；④BC=BG．其中正確的是

1. A.
   ①②③④
2. B.
   ①③④
3. C.
   ②③④
4. D.
   ①②

Answer 1

A
分析：由BF平分∠GBC得∠GBF=∠CBF，易得∠CBF=∠EBD，利用等角的余角相等得到∠F=∠BED，利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到①正確；由GE∥AF，利用平行線的性質(zhì)得∠F=∠GEB，則∠GEB=∠CEB，易證△BEG≌△BEC，則GE=CE，即可得到②正確；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)易得EB垂直平分GC，所以③正確；根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得BG=BC，所以④正確．
解答：解：∵BF平分∠GBC，
∴∠GBF=∠CBF，
而∠GBF=∠EBD，
∴∠CBF=∠EBD，
∵∠BCA=90°，CD為高，
∴∠F=∠BED，
∴CF=CE，所以①正確；
又∵GE∥AF，
∴∠F=∠GEB，
∴∠GEB=∠CEB，
而∠GBF=∠CBF，
∴∠GBE=∠CBE，
BE公共，
∴△BEG≌△BEC，
∴GE=CE，
∴GE=CF，所以②正確；
在△EGC中，
EC=EG，BE平分∠CEG，
∴EB垂直平分GC，所以③正確；
∴BG=BC，所以④正確．
故選A．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：有兩組對應(yīng)角相等，且它們的夾邊也相等的兩個三角形全等；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)．