Question

【題目】如圖，已知等邊△ABO在平面直角坐標(biāo)系中，點A（4 ，0），函數(shù)y= （x＞0，k為常數(shù)）的圖象經(jīng)過AB的中點D，交OB于E．
（1）求k的值；
（2）若第一象限的雙曲線y= 與△BDE沒有交點，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：過點B作BM⊥OA于點M，如圖所示．

∵點A（4 ，0），

∴OA=4 ，

又∵△ABO為等邊三角形，

∴OM= OA=2 ，BM= OA=6．

∴點B的坐標(biāo)為（2 ，6）．

∵點D為線段AB的中點，

∴點D的坐標(biāo)為（ ， ）=（3 ，3）．

∵點D為函數(shù)y= （x＞0，k為常數(shù)）的圖象上一點，

∴有3= ，解得：k=9

（2）解：設(shè)過點B的反比例函數(shù)的解析式為y= ，

∵點B的坐標(biāo)為（2 ，6），

∴有6= ，解得：n=12 ．

若要第一象限的雙曲線y= 與△BDE沒有交點，只需m＜k或m＞n即可，

∴m＜9 或m＞12 ．

答：若第一象限的雙曲線y= 與△BDE沒有交點，m的取值范圍為m＜9 或m＞12

【解析】（1）過點B作BM⊥OA于點M，由等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合點A的坐標(biāo)找出點B的坐標(biāo)，再利用中點坐標(biāo)公式即可求出點D的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；（2）設(shè)過點B的反比例函數(shù)的解析式為y= ，由點B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出n的值，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出m的取值范圍．
【考點精析】關(guān)于本題考查的反比例函數(shù)的性質(zhì)，需要了解性質(zhì):當(dāng)k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減��； 當(dāng)k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大才能得出正確答案．