Question

老師給小明出了一道題，小明感到有困難，請(qǐng)你幫助小明解決這個(gè)問(wèn)題．
題目是這樣的：一個(gè)三角形兩邊長(zhǎng)分別是6和8，第三邊長(zhǎng)是x²-16x+60=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，畫(huà)出所有情況的示意圖并且求出該三角形的面積．

Answer 1

分析：首先解方程求得第三邊的長(zhǎng)度，然后分情況計(jì)算，當(dāng)?shù)谌�邊�?時(shí)，三角形是等腰三角形，作出底邊上的高線，根據(jù)勾股定理求得高線的長(zhǎng)，即可求得三角形的面積；
當(dāng)?shù)谌�邊長(zhǎng)是10時(shí)，可以利用勾股定理的逆定理證得△ABC是直角三角形，即可求得面積．

解答：解：解方程x²-16x+60=0得：x₁=6，x₂=10．
當(dāng)?shù)谌�邊長(zhǎng)是6時(shí)，如圖（1），AB=AC=6，BC=8．作AD⊥BC于D．
∴BD=

1

2

BC=4，
在直角△ABD中，AD=

AB2-BD2

=

62-42

=2

5

．
∴△ABC的面積=

1

2

BC•AD=

1

2

×8×2

5

=8

5

；
當(dāng)?shù)谌�邊�?0時(shí)，如圖（2），
∵10²=6²+8²，
∴AB²=AC²+BC²．
∴△ABC是直角三角形．
∴△ABC的面積是：

1

2

AC•BC=

1

2

×6×8=24．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的解法以及等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，正確理解等腰三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．