Question

【題目】如圖，已知直線y＝﹣2x+4分別交x軸、y軸于點A、B，拋物線過A，B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交拋物線于點D．

（1）若拋物線的解析式為y＝﹣2x2+2x+4，設(shè)其頂點為M，其對稱軸交AB于點N．

①求點M、N的坐標(biāo)；

②是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；

（2）當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為1時，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①點N坐標(biāo)為（，3）；②不存在．理由見解析；（2）存在．滿足條件的拋物線的解析式為y＝﹣2x2+2x+4或y＝﹣x2+3x+4．

【解析】

（1）①將拋物線配成頂點式可得到頂點坐標(biāo)M再通過在對稱軸上求出N的坐標(biāo);

②易得，通過將點P，點D的坐標(biāo)設(shè)出來可得，由PD∥MN，可知PD=MN時，四邊形MNPD是平行四邊形；求值后通過比較與的大小可判斷四邊形MNPD是否為菱形;

（2）先由點P的坐標(biāo)求出，然后將拋物線解析式設(shè)為y=ax2+bx+4，再由得到，求出由∠DPB=∠OBA，可對相似三角形進(jìn)行分類討論，分別求出值即可.

（1）①如圖1，

∴頂點為M的坐標(biāo)為

當(dāng)時，，則點N坐標(biāo)為

②不存在．

理由如下：

設(shè)P點坐標(biāo)為，則

∴

∵PD∥MN，

當(dāng)PD=MN時，四邊形MNPD為平行四邊形，即解得（舍去）， 此時P點坐標(biāo)為

∵

∴PN≠MN，

∴平行四邊形MNPD不為菱形，

∴不存在點P，使四邊形MNPD為菱形；

（2）存在．

如圖2，

OB＝4，OA＝2，則

當(dāng)x＝1時，y＝﹣2x+4＝2，則P（1，2），

∴

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+4，

把A（2，0）代入得4a+2b+4＝0，解得b＝﹣2a﹣2，

∴拋物線的解析式為y＝ax2﹣2（a+1）x+4，

當(dāng)x＝1時，y＝ax2﹣2（a+1）x+4＝a﹣2a﹣2+4＝2﹣a，則D（1，2﹣a），

∴

∵DC∥OB，

∴∠DPB＝∠OBA，

∴當(dāng)時，△PDB∽△BOA，即，解得，此時拋物線解析式為

當(dāng)時，△PDB∽△BAO，即，解得，此時拋物線解析式為

綜上所述，滿足條件的拋物線的解析式為或