作業(yè)寶如圖所示，等腰直角三角形△ABC的直角邊AB=2，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相等的速度做直線運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿邊BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，PQ與直線AC相交于點(diǎn)D．
（1）設(shè)AP的長(zhǎng)為x，△PCQ的面積為S，求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)AP的長(zhǎng)為何值時(shí)S△PCQ=S△ABC．

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC=2．
∵P、Q速度相同，
∴AP=CQ=x，
當(dāng)0≤x≤2時(shí)
S==-x2+x
當(dāng)x＞2時(shí)，
S==x2-x，
∴S=；
（2）由題意，得
當(dāng)-x2+x=2時(shí)，
△＜0，原方程無(wú)解；
x2-x=2時(shí)
解得：x1=1+，x2=1-（舍去）
∴AP=1+．
答：當(dāng)AP=1+時(shí)，S△PCQ=S△ABC．
分析：（1）由條件可以得出AP=CQ，就有BQ=x+2，PB=2-x或x-2，分兩種情況討論，0≤x≤2，和x＞2時(shí)由三角形的面積公式及可以求出結(jié)論；
（2）先求出△ABC的面積，根據(jù)（1）的解析式分別建立方程求出其值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)求出二次函數(shù)解析式是關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•武漢模擬）已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，以O(shè) 為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，將Rt△OAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和過(guò)O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）P是此拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以P、O、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）M（x，y）是此拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△MOB的面積等于△OAB面積時(shí)，求M的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

梯形ABCD按如圖所示放置在直角坐標(biāo)系中（如圖a），AB在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，CD∥AB，A（-1，0），C（1，3），拋物線y=-
3
5
x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)，點(diǎn)G是拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸GH交x軸為H，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O沿OB以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求拋物線的解析式與線段BC的長(zhǎng)度
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PHG與△AOD相似（點(diǎn)P與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)）？
（3）如圖（b），連接AC交y軸于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，若其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，則另一點(diǎn)也立即停止運(yùn)動(dòng)．
①請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谀骋粫r(shí)刻t，使△OPQ是以O(shè)P為腰的等腰三角形？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②如圖（c），連接BD交PQ于F，當(dāng)t=
19±
61
6
19±
61
6
秒時(shí)，BF=
1
2
FD？（請(qǐng)直接寫出答案）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，直線y=2x+2與x軸，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是在第一象限內(nèi)此直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BC為直角邊作如圖所示的等腰直角三角形BCD，點(diǎn)E在過(guò)A、C、D三點(diǎn)的圓上，且DE⊥BD，連結(jié)CE、AD．
（1）找出圖中一對(duì)相似三角形（不再標(biāo)記字母），并說(shuō)明理由；
（2）在C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DE的長(zhǎng)度是否改變？若不變，請(qǐng)求出DE的長(zhǎng)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90º,∠BOA=30°,AB=2，以O(shè) 為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，將Rt△OAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處.

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和過(guò)O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）P是此拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以P、O、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)M(x,y)是此拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△MOB的面積等于△OAB面積時(shí)，求M的坐標(biāo).

 


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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，直線y=2x+2與x軸，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是在第一象限內(nèi)此直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BC為直角邊作如圖所示的等腰直角三角形BCD，點(diǎn)E在過(guò)A、C、D三點(diǎn)的圓上，且DE⊥BD，連結(jié)CE、AD．
（1）找出圖中一對(duì)相似三角形（不再標(biāo)記字母），并說(shuō)明理由；
（2）在C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DE的長(zhǎng)度是否改變？若不變，請(qǐng)求出DE的長(zhǎng)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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