Question

【題目】如圖，二次函數(shù)圖象經(jīng)過A（﹣3，0）、B（4，0）、C（0，﹣4）三點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求該拋物線的對稱軸；

（3）該拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)D，在該拋物線上是否存在一點(diǎn)E，使得以D、E、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4；（2）x=；（3）存在，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，﹣）、（，）或（﹣，）．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出拋物線的對稱軸；（3）假設(shè)存在，分線段BC為對角線以及BC為邊兩種情況考慮，根據(jù)點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，此題得解．

試題解析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），將A（﹣3，0）、B（4，0）、C（0，﹣4）代入y=ax2+bx+c（a≠0）中得：，解得：，∴該拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣4．（2）∵拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣4，∴該拋物線的對稱軸為x=﹣=．（3）假設(shè)存在，∵點(diǎn)D在拋物線的對稱軸上，∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，m）．以D、E、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分兩種情況（如圖所示）：①當(dāng)線段BC為對角線時，∵B（4，0）、C（0，﹣4）、D（，m），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4﹣， ﹣4﹣m），既（，﹣4﹣m），∵點(diǎn)E在拋物線y=x2﹣x﹣4上，∴﹣4﹣m=×﹣×﹣4=﹣，此時點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，﹣）；②當(dāng)線段BC為邊時，∵B（4，0）、C（0，﹣4）、D（，m），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（+4，m+4）或（﹣4，m+4），既（，m+4）或（﹣，m+4）．∵點(diǎn)E在拋物線y=x2﹣x﹣4上，∴m+4=×﹣×﹣4=或m+4=×﹣×（﹣）﹣4=，此時點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）或（﹣，）．綜上可知：在該拋物線上存在一點(diǎn)E，使得以D、E、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，﹣）、（，）或（﹣，）．