如圖,在矩形ABCD中,點P在邊CD上,且與C、D不重合,過點A作AP的垂線與CB的延長線相交于點Q,連接PQ,M為PQ中點.
(1)求證:△ADP∽△ABQ;
(2)若AD=10,AB=20,點P在邊CD上運動,設DP=x,BM2=y,求y與x的函數(shù)關系式,并求線段BM的最小值;
(3)若AD=10,AB=a,DP=8,隨著a的大小的變化,點M的位置也在變化.當點M落在矩形ABCD外部時,求a的取值范圍.
解:(1)證明:∵∠QAP=∠BAD=90°,∴∠QAB=∠PAD。
又∵∠ABQ=∠ADP=90°,∴△ADP∽△ABQ。
(2)∵△ADP∽△ABQ,∴,即!郠B=2x。
∵DP=x,CD=AB=20,∴PC=CD﹣DP=20﹣x.
如圖,過點M作MN⊥QC于點N,
∵MN⊥QC,CD⊥QC,點M為PQ中點,
∴點N為QC中點,MN為中位線,
∴,
。
在Rt△BMN中,由勾股定理得,
∴y與x的函數(shù)關系式為:(0<x<20)。
∵,
∴當x=8即DP=8時,y取得最小值為45,BM的最小值為。
(3)設PQ與AB交于點E。
如圖,點M落在矩形ABCD外部,須滿足的條件是BE>MN。
∵△ADP∽△ABQ,∴,即,解得。
∵AB∥CD,∴△QBE∽△QCP。
∴,即,解得。
∵MN為中位線,∴。
∵BE>MN,∴,解得。
∴當點M落在矩形ABCD外部時,a的取值范圍為:,
解析
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,△ABC三個定點坐標分別為A(﹣1,3),B(﹣1,1),C(﹣3,2).
(1)請畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1;
(2)以原點O為位似中心,將△A1B1C1放大為原來的2倍,得到△A2B2C2,請在第三象限內畫出△A2B2C2,并求出S△A1B1C1:S△A2B2C2的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖1,△ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,D、F分別在AB、AC邊上,此時BD=CF,BD⊥CF成立。
(1)當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉θ(0°<θ<90°)時,如圖2,BD=CF成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由。
(2)當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45°時,如圖3,延長BD交CF于點G。
求證:BD⊥CF。
(3)在(2)小題的條件下, AC與BG的交點為M, 當AB=4,AD=時,求線段CM的長。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖所示,在Rt△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=90°,點P是△ABC的外角∠BCN的角平分線上一個動點,點P′是點P關于直線BC的對稱點,連結PP′交BC于點M,BP′交AC于D,連結BP、AP′、CP′.
(1)若四邊形BPCP′為菱形,求BM的長;
(2)若△BMP′∽△ABC,求BM的長;
(3)若△ABD為等腰三角形,求△ABD的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
為了測量旗桿AB的高度.甲同學畫出了示意圖1,并把測量結果記錄如下,BA⊥EA于A,DC⊥EA于C,CD=a,CA=b,CE=c;乙同學畫出了示意圖2,并把測量結果記錄如下,DE⊥AE于E,BA⊥AE于A,BA⊥CD于C,DE=m,AE=n,∠BDC=α.
(1)請你幫助甲同學計算旗桿AB的高度(用含a、b、c的式子表示);
(2)請你幫助乙同學計算旗桿AB的高度(用含m、n、α的式子表示).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
直角三角形ABC中,∠ABC=90°,AC=10,BC=6,AB=8。P是AC上的一個動點,當P在AC上運動時,設PC=x,△ABP 的面積為y.
(1)求AC邊上的高是多少?
(2)求y與x之間的關系式。
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