Question

如圖1，點P為∠MON的平分線上一點，以P為頂點的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點，如果∠APB繞點P旋轉(zhuǎn)時始終滿足，我們就把∠APB叫做∠MON的智慧角.

（1）如圖2，已知∠MON=90°，點P為∠MON的平分線上一點，以點P為頂點的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點，且∠APB=135°. 求證：∠APB是∠MON的智慧角；

（2）如圖1，已知∠MON=（0°<<90°），OP=2，若∠APB是∠MON的智慧角，連結(jié)AB，用含的式子分別表示∠APB的度數(shù)和△AOB的面積；

（3）如圖3，C是函數(shù)圖象上的一個動點，過點C的直線CD分別交軸和軸于點A，B兩點，且滿足BC=2CA，請求出∠AOB的智慧角∠APB的頂點P的坐標.

Answer 1

解：（1）證明：∵∠MON=90°，點P為∠MON的平分線上一點，

∴.

∵，∴.

∵，∴.∴.

∴.∴，即.

∴∠APB是∠MON的智慧角.

（2）∵∠APB是∠MON的智慧角，

∴，即.

∵點P為∠MON的平分線上一點，

∴.

∴.∴.

∴.

如答圖1，過點A作AH⊥OB于點H，

∴.

∵，∴.

（3）設(shè)點，則.如答圖，過C點作CH⊥OA于點H.

i）當點B在軸的正半軸時，

如答圖2，當點A在軸的負半軸時，不可能.

如答圖3，當點A在軸的正半軸時，

∵，∴.

∵∥，∴.∴.∴.

∴.

∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴.

∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴點P的坐標為.

ii）當點B在軸的負半軸時，如答圖4

∵，∴.

∵∠AOB=∠AHC=90°，∠BAO=∠CAH，∴.

∴.∴.

∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴.

∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴點P的坐標為.

綜上所述，點P的坐標為或.

【考點】新定義和閱讀理解型問題；單動點和旋轉(zhuǎn)問題；相似三角形的判定和性質(zhì)；銳角三角函數(shù)定義；反比例函數(shù)的性質(zhì)；曲線上點的坐標與方程的關(guān)系；分類思想的應用.

【分析】（1）通過證明，即可得到，從而證得∠APB是∠MON的智慧角.

（2）根據(jù)得出結(jié)果.

（3）分點B在軸的正半軸，點B在軸的負半軸兩種情況討論.