Question

如圖所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4，DO垂直于AB．則腰長是

 

．若P是梯形的對稱軸L上的點，那么使△PDB為等腰三角形的點有

 

個．

Answer 1

分析：首先根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可證得BD是∠CBA的平分線，即可求得∠ABD的度數(shù)，則可求得AD的長；求交點，可以從PB=PD，PD=BD，PB=BD三種情況分析，注意結(jié)合圖形求解較簡單．

解答：解：∵AB∥CD，
∴∠DBA=∠CDB，
∵DC=CB，
∴∠CDB=∠CBD，
∴∠CBD=∠DBA，
∵AD=BC，
∴∠A=∠ABC=2∠ABD，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=30°，
∴AD=

1

2

AB=2；
∵若△PDB為等腰三角形，
若PD=PB，則點P是BD的垂直平分線與L的交點，有一個；
若PD=BD，則點P是以點D為圓心，BD的長為半徑作圓與直線L的交點，有兩個；
若PB=BD，則點P是以點B為圓心，BD的長為半徑作圓與直線L的交點，有兩個；
所以共有5個．

點評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．解題時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．注意求點P時要用分類討論的思想求解．