Question

（2009•黃浦區(qū)一模）如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（-1，0），C（0，3）．
（1）求此函數(shù)的解析式；
（2）用配方法（寫(xiě)出配方過(guò)程）將此函數(shù)化為y=a（x+m）²+k的形式，并寫(xiě)出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在線段AC上是否存在點(diǎn)P（不含A、C兩點(diǎn)），使△ABP與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線圖象上三點(diǎn)的坐標(biāo)，即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）用配方法將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，然后求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）可分兩種情況：
①△ABP∽△ABC，此時(shí)AB：AB=AP：AC，P、C重合，此種情況不合題意；
②△ABP∽△ACB，得AB：AC=AP：AB，由此可求出AP的長(zhǎng)；
易求得直線AC的解析式，可根據(jù)直線AC的解析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，再由AP的長(zhǎng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由題意得：，（2分）
解得：；（1分）
∴此函數(shù)解析式為y=-x²+2x+3；（1分）

（2）y=-x²+2x+3=-（x²-2x+1）+3+1（2分）=-（x-1）²+4；（1分）
∴頂點(diǎn)為（1，4）；（1分）

（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使△ABP與△ABC相似，
則或；
當(dāng)時(shí)，AP=AC；（不合題意，舍去）（1分）
當(dāng)時(shí)，；（1分）
由題意易得直線AC的解析式為：y=-x+3，
設(shè)P（x，-x+3），其中0＜x＜3，
則，
解得：（舍去）；（1分）
∴．（1分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)；需注意的是（3）題在不確定相似三角形對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的情況下，要分類討論，以免漏解．