【題目】已知:如圖,一次函數(shù)y=﹣2x與二次函數(shù)y=ax2+2ax+c的圖象交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),與其對稱軸交于點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D,點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱,且△ACD的面積等于2.
①求二次函數(shù)的解析式;
②在該二次函數(shù)圖象的對稱軸上求一點(diǎn)P(寫出其坐標(biāo)),使△PBC與△ACD相似.

【答案】
(1)

解:∵y=ax2+2ax+c=a(x+1)2+c﹣a,

∴它的對稱軸為x=﹣1.

又∵一次函數(shù)y=﹣2x與對稱軸交于點(diǎn)C,

∴y=2.

∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1,2)


(2)

解:①∵點(diǎn)C與點(diǎn)D 關(guān)于x軸對稱,

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣1,﹣2).

∴CD=4,

∵△ACD的面積等于2.

∴點(diǎn)A到CD的距離為1,C點(diǎn)與原點(diǎn)重合,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,0).

設(shè)二次函數(shù)為y=a(x+1)2﹣2過點(diǎn)A,則a=2,

∴y=2x2+4x.

②設(shè)P(﹣1,t).

交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣3,6),D(﹣1,﹣2),C(﹣1,2),A(0,0),

則BC=2 ,PC=t﹣2,CD=4,AD= ,

①當(dāng)△PBC∽△CAD時(shí), = ,即 = ,

解得t=10,

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,10),

②當(dāng)△PBC∽△ACD時(shí), = ,即 = ,

解得t=

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1, ),

綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,10),(﹣1, ).


【解析】(1)把拋物線對稱軸方程x=﹣1代入直線方程,求得相應(yīng)的縱坐標(biāo),易得點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)①根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的對稱性易得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)D(﹣1,﹣2),故CD=4,結(jié)合三角形的面積公式可以求得點(diǎn)A的坐標(biāo),將點(diǎn)A的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式為y=a(x+1)2﹣2,利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式即可;②需要分類討論:△PBD∽△CAD、△PBD∽△ACD.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且OA=OC.則下列結(jié)論:
①abc<0;②>0;③ac﹣b+1=0;④OAOB=﹣
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(  )

A.4
B.3
C.2
D.1

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,OA=AB,∠OAB=90°,反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象經(jīng)過A,B兩點(diǎn).若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(n,1),則k的值為

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【題目】如圖,直線y=﹣ x+6分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn),直線y= x與AB交于點(diǎn)C,與過點(diǎn)A且平行于y軸的直線交于點(diǎn)D,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向左運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)E作x軸的垂線,分別交直線AB、OD于P、Q兩點(diǎn),以PQ為邊向右作正方形PQMN.設(shè)正方形PQMN與△ACD重疊部分(陰影部分)的面積為S(平方單位),點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts(t>0).

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)當(dāng)0<t<5時(shí),求S的最大值;
(3)當(dāng)t在何范圍時(shí),點(diǎn)(4, )被正方形PQMN覆蓋?請直接寫出t的取值范圍.

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(1)試說明DF=CE;
(2)若AC=BF=DF,求∠ACE的度數(shù).

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解讀信息:
(1)甲,乙兩地之間的距離為 km;
(2)線段AB的解析式為;線段OC的解析式為;
(3)設(shè)快,慢車之間的距離為y(km),求y與慢車行駛時(shí)間x(h)的函數(shù)關(guān)系式,并畫出函數(shù)圖象.

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(1)寫出本次抽樣調(diào)查的樣本容量;
(2)請補(bǔ)全兩幅統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該校有2000名學(xué)生.請你估計(jì)觀看“中國漢字聽寫大會”節(jié)目不喜歡的學(xué)生人數(shù).

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A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

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